Lineare Abbildung/Beispiele/Einführung/Textabschnitt
Zwischen zwei Vektorräumen interessieren insbesondere die Abbildungen, die mit den Strukturen, also der Addition und der Skalarmultiplikation, verträglich sind.
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle und .
Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von Linearität. Die Identität , die Nullabbildung und die Inklusionen von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung
siehe Aufgabe. Statt von linearen Abbildungen spricht man auch von Homomorphismen.
Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von nach . Eine solche lineare Abbildung
ist aufgrund von Fakt (siehe unten) bzw. direkt aufgrund der Definition durch bzw. durch den Wert für ein einziges , , festgelegt. Es ist also mit einem eindeutig bestimmten . Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.
Viele wichtige Funktionen, insbesondere von nach , sind nicht linear. Beispielsweise ist das Quadrieren , die Quadratwurzel, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion, der Logarithmus nicht linear. Aber auch für solche kompliziertere Funktionen gibt es im Rahmen der Differentialrechnung lineare Approximationen, die zum Verständnis dieser Funktionen beitragen.
Es sei ein Körper und sei der -dimensionale Standardraum. Dann ist die -te Projektion, also die Abbildung
eine -lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die -te Projektion heißt auch die -te Koordinatenfunktion.
Es stehen verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das -te Produkt (pro Einheit) kostet. Ein Einkauf wird durch das -Tupel
repräsentiert, wobei die vom -ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch beschrieben. Die Preisabbildung
ist linear. Dies bedeutet beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf tätigt und eine Woche später den Einkauf , dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag gekauft hätte.
Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zu heißt die lineare Abbildung
die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor .
Bei einer Streckung stimmen Ausgangsraum und Zielraum überein. Die Zahl heißt Streckungsfaktor. Bei liegt die Identität vor und bei spricht man von einer Punktspiegelung.
Es sei der Raum der stetigen Funktionen von nach und der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung
die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. In der Analysis wird ja
für und eine weitere Funktion bewiesen.
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien
Dann ist auch die Verknüpfung
eine lineare Abbildung.
Beweis
Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Es sei
eine bijektive lineare Abbildung.
Dann ist auch die Umkehrabbildung