Lineare Abbildung/Vielfachheiten/Einführung/Textabschnitt

Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$ und ${}\lambda \in K$. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$, die wir mit ${}\mu _{\lambda }:=\mu _{\lambda }(\varphi )$ bezeichnen, und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also

$\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

die geometrische Vielfachheit von ${}\lambda$. Nach Fakt ist die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt. Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$.

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

Beweis

Sei ${}m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch ${}w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe gleich ${}(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit mindestens ${}m$ ist.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten ${}2\times 2$-Scherungsmatrizen

${}M={\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\,$

mit ${}a\in K$. Das charakteristische Polynom ist

${}\chi _{M}=(X-1)(X-1)\,,$

sodass ${}1$ der einzige Eigenwert von ${}M$ ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als

${}\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aus

${}{\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-as\\0\end{pmatrix}}\,$

folgt, dass ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor ist, und dass bei ${}a\neq 0$ der Eigenraum eindimensional ist (bei ${}a=0$ liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei ${}a\neq 0$ ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts ${}1$ gleich ${}2$, die geometrische Vielfachheit gleich ${}1$.