Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Dann nennt man

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,$

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

${}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

${}(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$

definiert wird.

Nach Aufgabe handelt es sich in der Tat um einen ${}K$-Vektorraum.

Beispiel

Es sei ${}W$ ein ${}K$-Vektorraum über dem Körper ${}K$. Dann ist die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(K,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto \varphi (1),$

ein Isomorphismus von Vektorräumen, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   mit einem weiteren Vektorraum ${}U$ induziert eine lineare Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

2. Eine lineare Abbildung

   $\psi \colon W\longrightarrow T$

   mit einem weiteren Vektorraum ${}T$ induziert eine lineare Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung

${}V=U_{1}\oplus U_{2}\,.$

Es sei ${}W$ ein weiterer ${}K$-Vektorraum und es seien

$\varphi _{1}\colon U_{1}\longrightarrow W$

und

$\varphi _{2}\colon U_{2}\longrightarrow W$

lineare Abbildungen.

Dann ist durch

${}\varphi (v):=\varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\,,$

wobei ${}v=v_{1}+v_{2}$ die direkte Zerlegung ist, eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

gegeben.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung ${}v=v_{1}+v_{2}$ mit ${}v_{1}\in U_{1}$ und ${}v_{2}\in U_{2}$ eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}\varphi (av+bv')&=\varphi _{1}((av+bv')_{1})+\varphi _{2}((av+bv')_{2})\\&=\varphi _{1}(av_{1}+bv'_{1})+\varphi _{2}(av_{2}+bv'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+b\varphi _{1}(v'_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{1}(v'_{1})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi (v)+b\varphi (v').\end{aligned}}$

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

${}V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}\,$

und

${}W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{m}\,$

direkte Summenzerlegungen und es seien

$p_{j}\colon W\longrightarrow W_{j}$

die kanonischen Projektionen.

Dann ist die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \prod _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)},\,f\longmapsto p_{j}\circ {\left(f{|}_{V_{i}}\right)},$

ein Isomorphismus.

Wenn man die ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)}$ als Untervektorräume von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\cong \bigoplus _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)}\,.$

vor.

Beweis

Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus Fakt. Zum Nachweis der Injektivität sei ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ mit ${}f\neq 0$ gegeben. Dann gibt es ein ${}v\in V$ mit

${}f(v)\neq 0\,.$

Sei ${}v=v_{1}+\cdots +v_{n}$ mit ${}v_{i}\in V_{i}$. Dann ist auch ${}f(v_{i})\neq 0$ für ein ${}i$. Dann ist auch ${}(f(v_{i}))_{j}\neq 0$ für ein ${}j$ und damit ist

${}f_{ij}=p_{j}\circ {\left(f{|}_{V_{i}}\right)}\neq 0\,.$

Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen ${}f_{ij}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)},\,1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m$, gegeben, die wir als Abbildungen nach ${}W$ auffassen. Dann sind die

${}f_{i}=\sum _{j=1}^{m}f_{ij}\,$

lineare Abbildungen von ${}V_{i}$ nach ${}W$. Dies ergibt nach Fakt eine lineare Abbildung ${}\sum _{i=1}^{n}f_{i}$ von ${}V$ nach ${}W$, die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume. Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von ${}W$.

Dann ist die Zuordnung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,f\longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f),$

ein Isomorphismus von ${}K$-Vektorräumen.

Beweis

Die Bijektivität wurde in Fakt gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus

${}{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f+g)\right)}_{ij}=((f+g)(v_{j}))_{i}=(f(v_{j})+g(v_{j}))_{i}=f(v_{j})_{i}+g(v_{j})_{i}={\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f)\right)}_{ij}+{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(g)\right)}_{ij}\,,$

wobei der Index ${}i$ die ${}i$-te Komponente bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ bezeichnet.

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Man kann auch die zu den Basen gehörende direkte Summenzerlegung in die eindimensionalen Untervektorräume ${}Kv_{i}$ bzw. ${}Kw_{j}$ betrachten und Fakt anwenden.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume mit den Dimensionen ${}n$ bzw. ${}m$.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\right)}=nm\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

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