Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei

\varphi \colon X\longrightarrow Y

eine stetige Abbildung. Man nennt ${}\varphi$ holomorph, wenn für jede offene Teilmenge ${}V\subseteq Y$ und jede holomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ die zusammengesetzte Funktion ${}f\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}$ holomorph ist.

Gemäß der Definition muss man also für jede offene Menge ${}V\subseteq Y$ und jede holomorphe Funktion ${}f\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ die Hintereinanderschaltung

\varphi ^{-1}(V){\stackrel {\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}}{\longrightarrow }}V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }

betrachten und als holomorph auf ${}\varphi ^{-1}(V)\subseteq X$ nachweisen.

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei

\varphi \colon X\longrightarrow Y

eine stetige Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}\varphi$ ist holomorph.

Für jedes Kartengebiet ${}V\subseteq Y$ und für jede holomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ ist ${}f\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}$ holomorph.

Es gibt eine offene Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ mit Kartengebieten ${}V_{i}\subseteq Y$ derart, dass für jede holomorphe Funktion ${}f_{i}\in \Gamma (V_{i},{\mathcal {O}}_{Y})$ auch ${}f_{i}\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})}$ holomorph ist.

Für beliebige Kartengebiete ${}V\subseteq Y$ und
${}U\subseteq \varphi ^{-1}(V)\subseteq X\,$

mit Kartenabbildungen ${}\beta \colon V\rightarrow \beta (V)\subseteq {\mathbb {C} }$ und ${}\alpha \colon U\rightarrow \alpha (U)\subseteq {\mathbb {C} }$ ist

$\beta \circ \varphi {|}_{U}\circ \alpha ^{-1}\colon \alpha (U)\longrightarrow \beta (V)$

holomorph.

Es gibt eine offene Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ mit Kartengebieten ${}V_{i}$ und offene Überdeckungen ${}\varphi ^{-1}(V_{i})=\bigcup _{j\in J_{i}}U_{j}$ mit Kartengebieten ${}U_{j}$ von ${}X$ derart, dass die Hintereinanderschaltungen
$\beta _{i}\circ \varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}\colon \alpha (U_{j})\longrightarrow \beta (V_{i})$

holomorph sind.

Beweis

Von (1) nach (2) und von (2) nach (3) sind Einschränkungen. Es sei (3) erfüllt. Es sei ${}V\subseteq Y$ eine offene Teilmenge und ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ eine holomorphe Funktion. Die Durchschnitte ${}V\cap V_{i}$ , ${}i\in I$ , bilden dann eine offene Überdeckung von ${}V$ . Nach (3) sind dann die

{}f{|}_{V\cap V_{i}}\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V\cap V_{i})}={\left(f\circ {\left(\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}\right)}\right)}{|}_{\varphi ^{-1}(V\cap V_{i})}\,

holomorph. Da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, ist ${}f\circ {\left(\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}\right)}$ selbst holomorph.

Von (2) nach (4) und von (4) nach (5) ist klar. Es sei also (5) erfüllt, wir werden (3) zeigen. Ohne Einschränkung können wir ${}I=\{i\}$ ,

{}V_{i}=Y\subseteq {\mathbb {C} }\,

offen und

{}X=\bigcup _{j\in J}U_{j}\,

mit Kartengebieten ${}U_{j}$ annehmen. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}Y$ . Es ist die Holomorphie von

f\circ \varphi {|}_{U_{j}}\colon U_{j}\longrightarrow Y\subseteq {\mathbb {C} }

für jedes ${}U_{j}$ nachzuweisen. Somit ist zu zeigen, dass

f\circ \varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}\colon \alpha _{j}(U_{j})\longrightarrow Y\subseteq {\mathbb {C} }

holomorph ist. Nach Voraussetzung (5) ist ${}\varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}$ holomorph und somit ist auch diese Hintereinanderschaltung mit ${}f$ holomorph.

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Die Situation in Fakt (4) kann man sich durch das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}U&{\stackrel {\varphi {|}_{U}}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\\alpha (V)&{\stackrel {\beta \circ \varphi {|}_{U}\circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&\beta (V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

veranschaulichen, wobei sich die untere Zeile allein in ${}{\mathbb {C} }$ abspielt.

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.

Dann ist eine holomorphe Funktion auf ${}X$ und eine holomorphe Abbildung von ${}X$ nach ${}{\mathbb {C} }$ dasselbe.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

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Lemma

Die Identität ${}X\rightarrow X$ auf einer riemannschen Fläche ist eine holomorphe Abbildung.

Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ einer riemannschen Fläche ${}X$ ist die Inklusion
$U\longrightarrow X$

eine holomorphe Abbildung.

Es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und ${}\psi \colon Y\rightarrow Z$ holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen ${}X,Y,Z$ . Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
$\psi \circ \varphi \colon X\longrightarrow Z$

holomorph.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Eine direkte Verallgemeinerung von Fakt ist die folgende Aussage.

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Dann gelten folgende Aussagen.

Holomorphe Abbildungen
$\varphi ,\psi \colon X\longrightarrow Y$

stimmen genau dann überein, wenn die Einschränkungen ${}\varphi {|}_{U_{i}}$ und ${}\psi {|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$ übereinstimmen.

Es seien holomorphe Abbildungen ${}\varphi _{i}\colon U_{i}\rightarrow Y$ gegeben, die ${}\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ für alle ${}i,j$ erfüllen. Dann gibt es eine holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit
${}\varphi {|}_{U_{i}}=\varphi _{i}\,$

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