Riemannsche Flächen/Verschiedene Sachen/Anhang/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}p\colon X\rightarrow Y$ eine endliche normale holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

Dann entsprechen die holomorphen Differentialformen den holomorphen Differentialformen auf ${}X$, die unter den Decktransformationen invariant sind.

Beweis

Riemannsche Flächen/Normale endliche Abbildung/Holomorphe Differentialform/Invariant und Rückzug/Fakt/Beweis

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Lemma

Es sei ${}p\colon M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, sei ${}\omega$ eine ${}1$-Differentialform auf ${}N$ und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

ein differenzierbarer Weg in ${}M$.

Dann gilt

${}\int _{p\circ \gamma }\omega =\int _{\gamma }p^{*}\omega \,.$

Beweis

Dies ergibt sich direkt aus

${}\int _{p\circ \gamma }\omega =\int _{a}^{b}(p\circ \gamma )^{*}\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}=\int _{\gamma }p^{*}\omega \,.$

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Satz

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega =df$ eine exakte Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}M$.

Dann gilt für das Wegintegral

${}\int _{\gamma }\omega =f(\gamma (b))-f(\gamma (a))\,.$

Beweis

Nach Voraussetzung ist

${}\omega =df\,$

mit einer differenzierbaren Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Wir wenden die Kettenregel auf

$[a,b]{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$

an und erhalten damit und mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(df)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(f(\gamma (t))'dt\\&=f(\gamma (b))-f(\gamma (a)).\end{aligned}}$

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