In Mathematik gibt es zwei verschiedene Begriffe von Semi-Skalarproduktes bzw. eines Semi-inneren Produktes . Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten
L
{\displaystyle L}
L
{\displaystyle L}
Das
L
{\displaystyle L}
Günter Lumer formuliert, um Hilbertraum -Argumente auf Banachräume in Funktionsanalysis zu erweitern.[ 1] [ 2]
Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der Funktionsanalysis häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus
⟨
x
,
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
x
=
0
V
{\displaystyle x=0_{V}}
Bearbeiten
Lokalkonvexe Räume
(
V
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
Halbnormen
‖
⋅
‖
α
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha })}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
Topologisierungslemma für Algebren ). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
‖
x
‖
:=
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
‖
x
‖
α
:=
⟨
x
,
x
⟩
α
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}}
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
Sei
V
{\displaystyle V}
Vektorraum über dem Körper
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
reellen oder komplexen Zahlen. Ein Semi-Skalarprodukt [ 2] semi-inneres Produkt ist allgemein eine nicht-negativ hermitesche Sesquilinearform , wobei im reellen Fall
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Bzgl. des gewählten Körpers
K
=
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V\times V\to {\mathbb {K} }}
Semi-Skalarprodukt , wenn diese für alle
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
V
{\displaystyle V}
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in {\mathbb {K} }}
Bedingungen erfüllt. Die Unterschiede zwischen
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Bearbeiten
Das Semi-Skalarprodukt mit
K
=
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
⟨
x
,
x
⟩
α
≥
0
{\displaystyle \langle {x},{x}\rangle _{\alpha }\geq 0}
K
=
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
x
∈
V
{\displaystyle x\in V}
Bearbeiten
Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch
(3-R)
⟨
x
,
y
⟩
α
=
⟨
y
,
x
⟩
α
{\displaystyle \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }=\langle {y},{x}\rangle _{\alpha }}
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
(3-C)
⟨
x
,
y
⟩
α
=
⟨
y
,
x
⟩
α
¯
{\displaystyle \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }={\overline {\langle {y},{x}\rangle _{\alpha }}}}
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
Bearbeiten
Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
(4.1-R)
⟨
λ
x
,
y
⟩
α
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
α
{\displaystyle \langle \lambda {x},{y}\rangle _{\alpha }=\lambda \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }}
(4.2-R)
⟨
x
+
y
,
z
⟩
α
=
⟨
x
,
z
⟩
α
+
⟨
y
,
z
⟩
α
{\displaystyle \langle {x}+{y},{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }+\langle {y},{z}\rangle _{\alpha }}
linear im ersten Argument).
Bearbeiten
Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
semilinear , d.h.
(4.1-C)
⟨
λ
x
,
y
⟩
α
=
λ
¯
⟨
x
,
y
⟩
α
{\displaystyle \langle \lambda {x},{y}\rangle _{\alpha }={\overline {\lambda }}\langle {x},{y}\rangle _{\alpha }}
(4.2-C)
⟨
x
+
y
,
z
⟩
α
=
⟨
x
,
z
⟩
α
+
⟨
y
,
z
⟩
α
{\displaystyle \langle {x}+{y},{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }+\langle {y},{z}\rangle _{\alpha }}
Bearbeiten
Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt linear
(5.1)
⟨
x
,
λ
y
⟩
α
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
α
{\displaystyle \langle {x},\lambda {y}\rangle _{\alpha }=\lambda \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }}
(5.2)
⟨
x
,
y
+
z
⟩
α
=
⟨
x
,
y
⟩
α
+
⟨
x
,
z
⟩
α
{\displaystyle \langle {x},{y}+{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{y}\rangle _{\alpha }+\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }}
Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation . In einem reellen Vektorraum (also wenn
K
=
R
{\displaystyle {\mathbb {K} }=\mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Bearbeiten
Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt:
Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum
V
{\displaystyle V}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft
Bearbeiten
Sei
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
Vektorraum mit einem System
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}}
V
{\displaystyle V}
(
∀
α
∈
A
:
⟨
v
,
v
⟩
α
=
0
)
⟹
v
=
0
V
{\displaystyle \left(\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\langle v,v\rangle _{\alpha }=0\right)\Longrightarrow v=0_{V}}
Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen
Bearbeiten
Zeigen Sie, dass die durch
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
‖
⋅
‖
α
:
V
→
K
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }:V\to \mathbb {K} }
‖
x
‖
α
:=
⟨
x
,
x
⟩
α
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}}
Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
v
1
,
v
2
∈
V
{\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}
U
1
{\displaystyle U_{1}}
v
1
{\displaystyle v_{1}}
U
2
{\displaystyle U_{2}}
v
2
{\displaystyle v_{2}}
U
1
∩
U
2
=
∅
{\displaystyle U_{1}\cap U_{2}=\emptyset }
Ein Prä-Semihilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum
V
{\displaystyle V}
punktetrennenden System
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
(euklidisch
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Über dem Körper der reellen Zahlen
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
symmetrische Bilinearformen und(unitär
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Über dem Körper der komplexen Zahlen
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
hermitesche Sesquilinearformen.
Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum
Bearbeiten
Der Vektorraum
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
×
V
→
R
mit
⟨
v
,
w
⟩
α
:=
∑
k
=
0
α
v
k
⋅
w
k
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V\times V\to \mathbb {R} {\mbox{ mit }}\langle v,w\rangle _{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\alpha }v_{k}\cdot w_{k}}
Das Semi-Skalarprodukt ist für alle Folgen
v
,
w
∈
R
N
{\displaystyle v,w\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
α
∈
N
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }
Der Vektorraum
V
=
C
N
{\displaystyle V=\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
×
V
→
R
mit
⟨
v
,
w
⟩
α
:=
∑
k
=
0
α
v
k
¯
⋅
w
k
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V\times V\to \mathbb {R} {\mbox{ mit }}\langle v,w\rangle _{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\alpha }{\overline {v_{k}}}\cdot w_{k}}
Das Semi-Skalarprodukt ist für alle Folgen
v
,
w
∈
C
N
{\displaystyle v,w\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
α
∈
N
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }
Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum
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Sei
V
F
=
F
(
R
,
R
)
{\displaystyle V_{\mathcal {F}}={\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
F
×
V
F
→
K
mit
⟨
f
,
g
⟩
α
:=
f
(
α
)
⋅
g
(
α
)
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V_{\mathcal {F}}\times V_{\mathcal {F}}\to \mathbb {K} {\mbox{ mit }}\langle f,g\rangle _{\alpha }:=f(\alpha )\cdot g(\alpha )}
ein Semi-Skalarprodukt auf dem Funktionenraum
V
F
{\displaystyle V_{\mathcal {F}}}
Bearbeiten
Sei
X
≠
∅
{\displaystyle X\not =\emptyset }
V
X
:=
F
(
X
,
C
)
{\displaystyle V_{X}:={\mathcal {F}}(X,\mathbb {C} )}
X
{\displaystyle X}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
X
×
V
X
→
C
mit
⟨
f
,
g
⟩
α
:=
f
(
α
)
¯
⋅
g
(
α
)
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V_{X}\times V_{X}\to \mathbb {C} {\mbox{ mit }}\langle f,g\rangle _{\alpha }:={\overline {f(\alpha )}}\cdot g(\alpha )}
ein Semi-Skalarprodukt auf dem Funktionenraum
V
X
{\displaystyle V_{X}}
lokalkonvexe Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
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Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum
V
X
:=
F
(
X
,
C
)
{\displaystyle V_{X}:={\mathcal {F}}(X,\mathbb {C} )}
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
Weisen Sie nach, dass die durch die Halbnormen
‖
f
‖
α
:=
⟨
f
,
f
⟩
α
{\displaystyle \|f\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{\alpha }}}}
Hausdorff-Raum auf
V
X
{\displaystyle V_{X}}
f
1
,
f
2
∈
V
X
{\displaystyle f_{1},f_{2}\in V_{X}}
f
1
≠
f
2
{\displaystyle f_{1}\not =f_{2}}
U
1
{\displaystyle U_{1}}
f
1
{\displaystyle f_{1}}
U
2
{\displaystyle U_{2}}
f
2
{\displaystyle f_{2}}
Zeigen Sie für
(
C
N
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
∈
A
)
{\displaystyle \left(\mathbb {C} ^{\mathbb {N} },\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\right)}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
:=
(
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
)
α
∈
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\!_{\mathcal {A}}}:=(\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
C
N
{\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
Hinweis: Erzeugen Sie
ε
{\displaystyle \varepsilon }
a
∈
C
N
{\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
b
∈
C
N
{\displaystyle b\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
α
{\displaystyle \alpha }
ε
:=
1
3
⋅
‖
a
−
b
‖
α
>
0
{\displaystyle \varepsilon :={\frac {1}{3}}\cdot \|a-b\|_{\alpha }>0}
a
=
(
a
k
)
∈
N
{\displaystyle a=(a_{k})_{\in \mathbb {N} }}
b
=
(
b
k
)
∈
N
{\displaystyle b=(b_{k})_{\in \mathbb {N} }}
Ein Semihilbertraum ist ein euklischer oder unitärer Prä-Semihilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
V
{\displaystyle V}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
‖
x
‖
α
:=
⟨
x
,
x
⟩
α
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}}
Sei
V
1
:=
C
(
R
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
v
{\displaystyle v}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
V
1
×
V
1
{\displaystyle V_{1}\times V_{1}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
⟨
f
,
g
⟩
n
=
∫
−
n
+
n
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}f(x)\cdot g(x)\,{\rm {d}}x}
Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes
Bearbeiten
Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach!
Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft
Bearbeiten
Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
N
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {N} }}
V
1
{\displaystyle V_{1}}
Die Halbnorm für den Index
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
‖
f
‖
n
:=
⟨
f
,
f
⟩
n
=
∫
−
n
+
n
f
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle \|f\|_{n}:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{n}}}={\sqrt {\int _{-n}^{+n}f(x)^{2}\,dx}}}
Berechnen Sie allgemein für
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
f
∈
V
{\displaystyle f\in V}
f
(
x
)
:=
x
2
{\displaystyle f(x):=x^{2}}
‖
f
‖
n
{\displaystyle \|f\|_{n}}
f
{\displaystyle f}
Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum
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Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen
Als erste Funktion
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
(
x
)
:=
3
10
⋅
x
2
−
2
{\displaystyle f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2}
Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }
g
(
x
)
:=
2
⋅
c
o
s
(
x
)
+
1
{\displaystyle g(x):=2\cdot cos(x)+1}
Die folgende Funktionenfolge
(
f
n
)
n
∈
N
∈
V
1
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V_{1}^{\mathbb {N} }}
Konvexkombination
f
n
:=
(
1
−
1
n
)
⋅
f
+
1
n
⋅
g
{\displaystyle f_{n}:=(1-{\frac {1}{n}})\cdot f+{\frac {1}{n}}\cdot g}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum
Bearbeiten
Definieren Sie eine Cauchy-Folge in
V
1
:=
C
(
R
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
V
1
{\displaystyle V_{1}}
f
1
,
.
.
.
,
f
20
{\displaystyle f_{1},...,f_{20}}
Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum
Bearbeiten
Die Punkte
P
k
∈
R
2
{\displaystyle P_{k}\in \mathbb {R} ^{2}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
P
1
=
(
−
1
,
4
)
,
P
2
=
(
4
,
4
)
,
P
3
=
(
−
1
−
3
n
,
0
)
,
P
4
=
(
4
+
3
n
,
0
)
,
P
5
=
(
−
4
,
0
)
,
P
6
=
(
7
,
0
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}P_{1}=(-1,4),\,P_{2}=(4,4),\,P_{3}={\bigg (}-1-{\frac {3}{n}},0{\bigg )},\\P_{4}={\bigg (}4+{\frac {3}{n}},0{\bigg )},\,P_{5}=(-4,0),\,P_{6}=(7,0)\end{array}}}
Die stetigen Funktionen
f
n
{\displaystyle f_{n}}
Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme
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Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
x
↦
{
4
für
x
∈
[
−
1
,
4
]
0
für
x
∈
[
−
4
,
−
1
−
3
n
]
∪
[
4
+
3
n
,
7
]
?
für
x
∈
]
−
1
−
3
n
,
−
1
[
?
für
x
∈
]
4
+
3
n
,
−
1
[
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ für }}&x\in \left[-4,-1-{\frac {3}{n}}\right]\cup \left[4+{\frac {3}{n}},7\right]\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]-1-{\frac {3}{n}},-1\right[\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]4+{\frac {3}{n}},-1\right[\end{array}}\right.\\\end{array}}}
Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
V
1
:=
C
(
[
a
,
b
]
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}
Die folgende Funktion
f
o
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R} }
f
0
∉
V
1
:=
C
(
[
a
,
b
]
,
R
)
{\displaystyle f_{0}\notin V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}
[
a
,
b
]
:=
[
−
4
,
7
]
{\displaystyle [a,b]:=[-4,7]}
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
x
↦
{
4
für
x
∈
[
−
1
,
4
]
0
sonst
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ sonst }}&\end{array}}\right.\\\end{array}}}
Die folgende Funktion
f
o
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R} }
V
1
¯
{\displaystyle {\overline {V_{1}}}}
V
1
:=
C
(
[
a
,
b
]
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}
V
1
{\displaystyle V_{1}}
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
‖
f
‖
:=
∫
a
b
f
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle \|f\|:={\sqrt {\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}}}
f
0
∈
V
1
¯
{\displaystyle f_{0}\in {\overline {V_{1}}}}
Bearbeiten
Sei
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
V
1
{\displaystyle V_{1}}
f
o
∈
V
1
¯
{\displaystyle f_{o}\in {\overline {V_{1}}}}
‖
f
o
‖
∗
:=
lim
n
→
∞
‖
f
n
‖
{\displaystyle \|f_{o}\|_{\ast }:=\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}\|}
Zeigen Sie, dass
‖
⋅
‖
∗
{\displaystyle \|\cdot \|_{\ast }}
V
1
¯
{\displaystyle {\overline {V_{1}}}}
Zeigen Sie, dass
‖
⋅
‖
∗
{\displaystyle \|\cdot \|_{\ast }}
V
1
¯
{\displaystyle {\overline {V_{1}}}}
Hinweis: Approximieren Sie eine Treppenfunktion
f
o
{\displaystyle f_{o}}
f
o
{\displaystyle f_{o}}
f
o
~
{\displaystyle {\widetilde {f_{o}}}}
‖
f
o
−
f
o
~
‖
=
0
{\displaystyle \|f_{o}-{\widetilde {f_{o}}}\|=0}
Bearbeiten
Analog kann mit
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
V
2
:=
C
(
R
,
C
)
{\displaystyle V_{2}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}
⟨
f
,
g
⟩
n
=
∫
−
n
+
n
f
(
x
)
¯
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}{\overline {f(x)}}\cdot g(x)\,{\rm {d}}x}
Berechnen Sie von
f
(
x
)
=
x
+
i
⋅
x
2
{\displaystyle f(x)=x+i\cdot x^{2}}
f
∈
V
2
{\displaystyle f\in V_{2}}
‖
f
‖
n
{\displaystyle \|f\|_{n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen
Bearbeiten
Berechnen Sie von
f
(
x
)
=
x
+
i
⋅
x
2
{\displaystyle f(x)=x+i\cdot x^{2}}
g
(
x
)
=
i
⋅
x
+
1
{\displaystyle g(x)=i\cdot x+1}
f
,
g
∈
V
2
{\displaystyle f,g\in V_{2}}
⟨
f
,
g
⟩
n
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Bearbeiten
Sei
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
x
,
y
∈
V
{\displaystyle x,y\in V}
α
{\displaystyle \alpha }
V
{\displaystyle V}
x
⊥
α
y
{\displaystyle x{\stackrel {{}_{{}_{\alpha }}}{\bot }}y}
⟨
x
,
y
⟩
α
=
0
{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\alpha }=0}
semiorthogonal (
x
⊥
A
y
{\displaystyle x{\stackrel {{}_{{}_{\mathcal {A}}}}{\bot }}y}
⟨
x
,
y
⟩
α
=
0
{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\alpha }=0}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
Sei
V
1
:=
C
(
R
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
v
{\displaystyle v}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
V
1
×
V
1
{\displaystyle V_{1}\times V_{1}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
⟨
f
,
g
⟩
n
=
∫
−
n
+
n
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}f(x)\cdot g(x)\,{\rm {d}}x}
f
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{2}+1}
g
(
x
)
:=
x
3
{\displaystyle g(x):=x^{3}}
V
1
{\displaystyle V_{1}}
Zeigen Sie, dass die Funktionen
f
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{2}+1}
g
(
x
)
:=
x
3
{\displaystyle g(x):=x^{3}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
N
{\displaystyle \displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {N} }}
Bearbeiten
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen
‖
f
‖
α
:=
⟨
f
,
f
⟩
α
{\displaystyle \|f\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{\alpha }}}}
|
⟨
g
,
f
⟩
α
|
≤
‖
g
‖
α
⋅
‖
f
‖
α
{\displaystyle |\langle g,f\rangle _{\alpha }|\leq \|g\|_{\alpha }\cdot \|f\|_{\alpha }}
Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung nach oben ab.
|
μ
g
,
α
(
f
)
|
=
|
⟨
g
,
f
⟩
α
|
≤
‖
g
‖
α
⏟
=:
M
α
⋅
‖
f
‖
α
{\displaystyle |\mu _{g,\alpha }(f)|=|\langle g,f\rangle _{\alpha }|\leq \underbrace {\|g\|_{\alpha }} _{=:M_{\alpha }}\cdot \|f\|_{\alpha }}
Die Stetigkeitskonstante aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen wird nun unmittelbar über die Halbnorm
M
α
:=
‖
g
‖
α
{\displaystyle M_{\alpha }:=\|g\|_{\alpha }}
Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität
μ
g
,
α
(
λ
⋅
f
)
=
⟨
g
,
λ
⋅
f
⟩
α
=
λ
⋅
⟨
g
,
f
⟩
α
=
λ
⋅
μ
g
,
α
(
f
)
{\displaystyle \mu _{g,\alpha }(\lambda \cdot f)=\langle g,\lambda \cdot f\rangle _{\alpha }=\lambda \cdot \langle g,f\rangle _{\alpha }=\lambda \cdot \mu _{g,\alpha }(f)}
und die Additivität
μ
g
,
α
(
f
1
+
f
2
)
=
⟨
g
,
f
1
+
f
2
⟩
α
=
⟨
g
,
f
1
⟩
α
+
⟨
g
,
f
2
⟩
α
=
μ
g
,
α
(
f
1
)
+
μ
g
,
α
(
f
2
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mu _{g,\alpha }(f_{1}+f_{2})&=&\langle g,f_{1}+f_{2}\rangle _{\alpha }\\&=&\langle g,f_{1}\rangle _{\alpha }+\langle g,f_{2}\rangle _{\alpha }\\&=&\mu _{g,\alpha }(f_{1})+\mu _{g,\alpha }(f_{2})\end{array}}}
q.e.d.
Begründen Sie, warum die Abbildung
μ
~
g
,
α
(
f
)
:=
⟨
f
,
g
⟩
α
{\displaystyle {\widetilde {\mu }}_{g,\alpha }(f):=\langle f,g\rangle _{\alpha }}
im Allgemeinen kein Maß auf
V
{\displaystyle V}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen.
LibreOffice-Datei: handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods
Für Skalarprodukte
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
V
{\displaystyle V}
⟨
x
,
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
0
V
∈
V
{\displaystyle 0_{V}\in V}
N
α
:=
{
x
∈
V
:
⟨
x
,
x
⟩
α
=
0
}
{\displaystyle N_{\alpha }:=\{x\in V\,:\,\langle x,x\rangle _{\alpha }=0\}}
V
{\displaystyle V}
T
α
:=
V
∖
N
α
¯
{\displaystyle T_{\alpha }:={\overline {V\setminus N_{\alpha }}}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert.
↑ Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.
↑ a b J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.
![{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1d5103d0e36767a27715bcfc57137119294aad)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ für }}&x\in \left[-4,-1-{\frac {3}{n}}\right]\cup \left[4+{\frac {3}{n}},7\right]\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]-1-{\frac {3}{n}},-1\right[\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]4+{\frac {3}{n}},-1\right[\end{array}}\right.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b110e311e6fad5868332a1b63d3caba2e705fb2)
![{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8374727d22f1f3128de2c22d25dddaf5dc973e0)
![{\displaystyle f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ad9cf07652691b40eb6c4e3e37b97f4e101283)
![{\displaystyle f_{0}\notin V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148ba1b978f1c09febca04eb1b777bb61eb0d0bb)
![{\displaystyle [a,b]:=[-4,7]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001b0070e572a3e321fa2084b36579c4b8fcd1f6)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ sonst }}&\end{array}}\right.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc0755a7bf35824e3a75ab4cfc7c4fc18b30fc1)
