In Mathematik gibt es zwei verschiedene Begriffe von Semi-Skalarproduktes bzw. eines Semi-inneren Produktes . Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten
L
{\displaystyle L}
-semi-inneren Produkt oder
L
{\displaystyle L}
-Semi-Skalarprodukt , das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss.
Das
L
{\displaystyle L}
-Semi-Skalarprodukt wurde durch Günter Lumer formuliert, um Hilbertraum -Argumente auf Banachräume in Funktionsanalysis zu erweitern.[ 1] Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht[ 2] .
Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der Funktionsanalysis häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus
⟨
x
,
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt
x
=
0
V
{\displaystyle x=0_{V}}
.
Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten
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Lokalkonvexe Räume
(
V
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
sind topologische Vektorräume, die von einem System von Halbnormen
‖
⋅
‖
α
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha })}
mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
topologisiert werden (siehe auch Topologisierungslemma für Algebren ). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
, die wie bei Hilberträumen
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
durch die induzierte Norm
‖
x
‖
:=
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}
durch die von den Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
induzierten Halbnormen
‖
x
‖
α
:=
⟨
x
,
x
⟩
α
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}}
den Vektorraum
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen.
Sei
V
{\displaystyle V}
ein Vektorraum über dem Körper
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
der reellen oder komplexen Zahlen. Ein Semi-Skalarprodukt [ 2] oder semi-inneres Produkt ist allgemein eine nicht-negativ hermitesche Sesquilinearform , wobei im reellen Fall
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist.
Bzgl. des gewählten Körpers
K
=
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
heißt eine Abbildung
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V\times V\to {\mathbb {K} }}
Semi-Skalarprodukt , wenn diese für alle
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
,
z
{\displaystyle z}
aus
V
{\displaystyle V}
und für alle
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in {\mathbb {K} }}
die folgenden Bedingungen erfüllt. Die Unterschiede zwischen
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
- und
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben.
Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität
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Das Semi-Skalarprodukt mit
K
=
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
ist nicht-negativ , d.h.
⟨
x
,
x
⟩
α
≥
0
{\displaystyle \langle {x},{x}\rangle _{\alpha }\geq 0}
mit
K
=
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
für alle
x
∈
V
{\displaystyle x\in V}
.
Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch
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Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch
(3-R)
⟨
x
,
y
⟩
α
=
⟨
y
,
x
⟩
α
{\displaystyle \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }=\langle {y},{x}\rangle _{\alpha }}
(symmetrisch)
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
(3-C)
⟨
x
,
y
⟩
α
=
⟨
y
,
x
⟩
α
¯
{\displaystyle \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }={\overline {\langle {y},{x}\rangle _{\alpha }}}}
(hermitesch)
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente
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Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
in der 1. Komponente linear.
(4.1-R)
⟨
λ
x
,
y
⟩
α
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
α
{\displaystyle \langle \lambda {x},{y}\rangle _{\alpha }=\lambda \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }}
und
(4.2-R)
⟨
x
+
y
,
z
⟩
α
=
⟨
x
,
z
⟩
α
+
⟨
y
,
z
⟩
α
{\displaystyle \langle {x}+{y},{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }+\langle {y},{z}\rangle _{\alpha }}
(linear im ersten Argument).
Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente
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Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
in der 1. Komponente semilinear , d.h.
(4.1-C)
⟨
λ
x
,
y
⟩
α
=
λ
¯
⟨
x
,
y
⟩
α
{\displaystyle \langle \lambda {x},{y}\rangle _{\alpha }={\overline {\lambda }}\langle {x},{y}\rangle _{\alpha }}
und
(4.2-C)
⟨
x
+
y
,
z
⟩
α
=
⟨
x
,
z
⟩
α
+
⟨
y
,
z
⟩
α
{\displaystyle \langle {x}+{y},{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }+\langle {y},{z}\rangle _{\alpha }}
Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente
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Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt linear
(5.1)
⟨
x
,
λ
y
⟩
α
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
α
{\displaystyle \langle {x},\lambda {y}\rangle _{\alpha }=\lambda \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }}
und
(5.2)
⟨
x
,
y
+
z
⟩
α
=
⟨
x
,
y
⟩
α
+
⟨
x
,
z
⟩
α
{\displaystyle \langle {x},{y}+{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{y}\rangle _{\alpha }+\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }}
Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation . In einem reellen Vektorraum (also wenn
K
=
R
{\displaystyle {\mathbb {K} }=\mathbb {R} }
ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
ebenfalls nachweisen.
Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät
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Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt:
Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum
V
{\displaystyle V}
mit einem System
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}}
von Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt.
Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft
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Sei
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
ein Vektorraum mit einem System
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}}
von Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
.
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}}
trennt die Punkte von
V
{\displaystyle V}
, wenn folgende Implikation gilt:
(
∀
α
∈
A
:
⟨
v
,
v
⟩
α
=
0
)
⟹
v
=
0
V
{\displaystyle \left(\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\langle v,v\rangle _{\alpha }=0\right)\Longrightarrow v=0_{V}}
Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen
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Zeigen Sie, dass die durch
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
definierten Funktionen
‖
⋅
‖
α
:
V
→
K
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }:V\to \mathbb {K} }
mit
‖
x
‖
α
:=
⟨
x
,
x
⟩
α
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}}
Halbnormen sind!
Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu
v
1
,
v
2
∈
V
{\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}
gibt es eine Umgebung
U
1
{\displaystyle U_{1}}
von
v
1
{\displaystyle v_{1}}
und eine eine Umgebung
U
2
{\displaystyle U_{2}}
von
v
2
{\displaystyle v_{2}}
mit
U
1
∩
U
2
=
∅
{\displaystyle U_{1}\cap U_{2}=\emptyset }
.
Ein Prä-Semihilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum
V
{\displaystyle V}
mit einem punktetrennenden System
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}}
von Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
, für die gilt:
(euklidisch
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
) Über dem Körper der reellen Zahlen
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
sind alle Semi-Skalarprodukte
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
symmetrische Bilinearformen und
(unitär
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
) Über dem Körper der komplexen Zahlen
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
sind alle Semi-Skalarprodukte
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
hermitesche Sesquilinearformen.
Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum
Bearbeiten
Der Vektorraum
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
der reellen Zahlenfolgen
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
×
V
→
R
mit
⟨
v
,
w
⟩
α
:=
∑
k
=
0
α
v
k
⋅
w
k
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V\times V\to \mathbb {R} {\mbox{ mit }}\langle v,w\rangle _{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\alpha }v_{k}\cdot w_{k}}
Das Semi-Skalarprodukt ist für alle Folgen
v
,
w
∈
R
N
{\displaystyle v,w\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
und alle
α
∈
N
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }
definiert.
Der Vektorraum
V
=
C
N
{\displaystyle V=\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
der komplexen Zahlenfolgen
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
×
V
→
R
mit
⟨
v
,
w
⟩
α
:=
∑
k
=
0
α
v
k
¯
⋅
w
k
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V\times V\to \mathbb {R} {\mbox{ mit }}\langle v,w\rangle _{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\alpha }{\overline {v_{k}}}\cdot w_{k}}
Das Semi-Skalarprodukt ist für alle Folgen
v
,
w
∈
C
N
{\displaystyle v,w\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
und alle
α
∈
N
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }
definiert.
Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum
Bearbeiten
Sei
V
F
=
F
(
R
,
R
)
{\displaystyle V_{\mathcal {F}}={\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
die Mengen aller Funktionen von
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
nach
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Dann definiert
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
F
×
V
F
→
K
mit
⟨
f
,
g
⟩
α
:=
f
(
α
)
⋅
g
(
α
)
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V_{\mathcal {F}}\times V_{\mathcal {F}}\to \mathbb {K} {\mbox{ mit }}\langle f,g\rangle _{\alpha }:=f(\alpha )\cdot g(\alpha )}
ein Semi-Skalarprodukt auf dem Funktionenraum
V
F
{\displaystyle V_{\mathcal {F}}}
.
Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum
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Sei
X
≠
∅
{\displaystyle X\not =\emptyset }
eine beliebige Menge und
V
X
:=
F
(
X
,
C
)
{\displaystyle V_{X}:={\mathcal {F}}(X,\mathbb {C} )}
die Mengen aller Abbildungen von
X
{\displaystyle X}
in die komplexen Zahlen
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
. Dann definiert
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
:
V
X
×
V
X
→
C
mit
⟨
f
,
g
⟩
α
:=
f
(
α
)
¯
⋅
g
(
α
)
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V_{X}\times V_{X}\to \mathbb {C} {\mbox{ mit }}\langle f,g\rangle _{\alpha }:={\overline {f(\alpha )}}\cdot g(\alpha )}
ein Semi-Skalarprodukt auf dem Funktionenraum
V
X
{\displaystyle V_{X}}
. Die induzierte lokalkonvexe Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
.
Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum
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Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum
V
X
:=
F
(
X
,
C
)
{\displaystyle V_{X}:={\mathcal {F}}(X,\mathbb {C} )}
nach, dass ein konvergentes Funktionennetz
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
punktweise für alle
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
konvergiert!
Weisen Sie nach, dass die durch die Halbnormen
‖
f
‖
α
:=
⟨
f
,
f
⟩
α
{\displaystyle \|f\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{\alpha }}}}
eine Hausdorff-Raum auf
V
X
{\displaystyle V_{X}}
erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige
f
1
,
f
2
∈
V
X
{\displaystyle f_{1},f_{2}\in V_{X}}
mit
f
1
≠
f
2
{\displaystyle f_{1}\not =f_{2}}
und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen
U
1
{\displaystyle U_{1}}
von
f
1
{\displaystyle f_{1}}
und
U
2
{\displaystyle U_{2}}
von
f
2
{\displaystyle f_{2}}
an.
Zeigen Sie für
(
C
N
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
∈
A
)
{\displaystyle \left(\mathbb {C} ^{\mathbb {N} },\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\right)}
mit dem zugehörigen System
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
:=
(
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
)
α
∈
A
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\!_{\mathcal {A}}}:=(\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}
von Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
die Punkte von
C
N
{\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
trennt!
Hinweis: Erzeugen Sie
ε
{\displaystyle \varepsilon }
-Umgebungen von
a
∈
C
N
{\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
und
b
∈
C
N
{\displaystyle b\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
bzgl. einer Halbnorm mit dem Index
α
{\displaystyle \alpha }
, bei der
ε
:=
1
3
⋅
‖
a
−
b
‖
α
>
0
{\displaystyle \varepsilon :={\frac {1}{3}}\cdot \|a-b\|_{\alpha }>0}
ist. Dabei sind
a
=
(
a
k
)
∈
N
{\displaystyle a=(a_{k})_{\in \mathbb {N} }}
und
b
=
(
b
k
)
∈
N
{\displaystyle b=(b_{k})_{\in \mathbb {N} }}
zwei komplexe Zahlenfolgen.
Ein Semihilbertraum ist ein euklischer oder unitärer Prä-Semihilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
mit Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
, wenn
V
{\displaystyle V}
bzgl. der durch
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
definierten Halbnormen
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
mit
‖
x
‖
α
:=
⟨
x
,
x
⟩
α
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}}
vollständig ist.
Sei
V
1
:=
C
(
R
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
der Vektorraum der stetigen Funktionen von
v
{\displaystyle v}
nach
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Man definiert zunächst für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Abbildungen von
V
1
×
V
1
{\displaystyle V_{1}\times V_{1}}
nach
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
wie folgt:
⟨
f
,
g
⟩
n
=
∫
−
n
+
n
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}f(x)\cdot g(x)\,{\rm {d}}x}
Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes
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Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach!
Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft
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Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
N
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {N} }}
die Punkte von
V
1
{\displaystyle V_{1}}
trennt.
Die Halbnorm für den Index
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes
‖
f
‖
n
:=
⟨
f
,
f
⟩
n
=
∫
−
n
+
n
f
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle \|f\|_{n}:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{n}}}={\sqrt {\int _{-n}^{+n}f(x)^{2}\,dx}}}
Berechnen Sie allgemein für
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
und
f
∈
V
{\displaystyle f\in V}
mit
f
(
x
)
:=
x
2
{\displaystyle f(x):=x^{2}}
die Halbnorm
‖
f
‖
n
{\displaystyle \|f\|_{n}}
der Funktion
f
{\displaystyle f}
!
Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum
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Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen
Als erste Funktion
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
wird ein Polynom definiert.
f
(
x
)
:=
3
10
⋅
x
2
−
2
{\displaystyle f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2}
Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }
gewählt.
g
(
x
)
:=
2
⋅
c
o
s
(
x
)
+
1
{\displaystyle g(x):=2\cdot cos(x)+1}
Die folgende Funktionenfolge
(
f
n
)
n
∈
N
∈
V
1
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V_{1}^{\mathbb {N} }}
entsteht als Konvexkombination
f
n
:=
(
1
−
1
n
)
⋅
f
+
1
n
⋅
g
{\displaystyle f_{n}:=(1-{\frac {1}{n}})\cdot f+{\frac {1}{n}}\cdot g}
von
f
{\displaystyle f}
und
g
{\displaystyle g}
.
Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum
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Definieren Sie eine Cauchy-Folge in
V
1
:=
C
(
R
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
definiert, die nicht in
V
1
{\displaystyle V_{1}}
konvergiert.
Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder
f
1
,
.
.
.
,
f
20
{\displaystyle f_{1},...,f_{20}}
Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum
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Die Punkte
P
k
∈
R
2
{\displaystyle P_{k}\in \mathbb {R} ^{2}}
werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
festgelegt:
P
1
=
(
−
1
,
4
)
,
P
2
=
(
4
,
4
)
,
P
3
=
(
−
1
−
3
n
,
0
)
,
P
4
=
(
4
+
3
n
,
0
)
,
P
5
=
(
−
4
,
0
)
,
P
6
=
(
7
,
0
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}P_{1}=(-1,4),\,P_{2}=(4,4),\,P_{3}={\bigg (}-1-{\frac {3}{n}},0{\bigg )},\\P_{4}={\bigg (}4+{\frac {3}{n}},0{\bigg )},\,P_{5}=(-4,0),\,P_{6}=(7,0)\end{array}}}
Die stetigen Funktionen
f
n
{\displaystyle f_{n}}
werden durch die Interpolation der Punkte generiert.
Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme
Bearbeiten
Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion
f
n
{\displaystyle f_{n}}
!
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
x
↦
{
4
für
x
∈
[
−
1
,
4
]
0
für
x
∈
[
−
4
,
−
1
−
3
n
]
∪
[
4
+
3
n
,
7
]
?
für
x
∈
]
−
1
−
3
n
,
−
1
[
?
für
x
∈
]
4
+
3
n
,
−
1
[
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ für }}&x\in \left[-4,-1-{\frac {3}{n}}\right]\cup \left[4+{\frac {3}{n}},7\right]\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]-1-{\frac {3}{n}},-1\right[\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]4+{\frac {3}{n}},-1\right[\end{array}}\right.\\\end{array}}}
Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
eine Cauchy-Folge in
V
1
:=
C
(
[
a
,
b
]
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}
ist!
Die folgende Funktion
f
o
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R} }
ist nicht stetig und daher
f
0
∉
V
1
:=
C
(
[
a
,
b
]
,
R
)
{\displaystyle f_{0}\notin V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}
mit
[
a
,
b
]
:=
[
−
4
,
7
]
{\displaystyle [a,b]:=[-4,7]}
.
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
x
↦
{
4
für
x
∈
[
−
1
,
4
]
0
sonst
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ sonst }}&\end{array}}\right.\\\end{array}}}
Die folgende Funktion
f
o
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R} }
ist ein Element der Vervollständigung
V
1
¯
{\displaystyle {\overline {V_{1}}}}
von
V
1
:=
C
(
[
a
,
b
]
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}
bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf
V
1
{\displaystyle V_{1}}
. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
in der Norm
‖
f
‖
:=
∫
a
b
f
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle \|f\|:={\sqrt {\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}}}
gegen
f
0
∈
V
1
¯
{\displaystyle f_{0}\in {\overline {V_{1}}}}
konvergiert!
Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung
Bearbeiten
Sei
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
eine Folge in
V
1
{\displaystyle V_{1}}
, die gegen
f
o
∈
V
1
¯
{\displaystyle f_{o}\in {\overline {V_{1}}}}
konvergiert.
Man definiert nun
‖
f
o
‖
∗
:=
lim
n
→
∞
‖
f
n
‖
{\displaystyle \|f_{o}\|_{\ast }:=\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}\|}
.
Zeigen Sie, dass
‖
⋅
‖
∗
{\displaystyle \|\cdot \|_{\ast }}
eine Halbnorm auf
V
1
¯
{\displaystyle {\overline {V_{1}}}}
ist!
Zeigen Sie, dass
‖
⋅
‖
∗
{\displaystyle \|\cdot \|_{\ast }}
allerdings keine Norm auf
V
1
¯
{\displaystyle {\overline {V_{1}}}}
ist.
Hinweis: Approximieren Sie eine Treppenfunktion
f
o
{\displaystyle f_{o}}
durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von
f
o
{\displaystyle f_{o}}
verschiedene Funktion
f
o
~
{\displaystyle {\widetilde {f_{o}}}}
mit
‖
f
o
−
f
o
~
‖
=
0
{\displaystyle \|f_{o}-{\widetilde {f_{o}}}\|=0}
.
Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen
Bearbeiten
Analog kann mit
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
dieses obige Beispiel auf einen einen
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
-Vektorraum
V
2
:=
C
(
R
,
C
)
{\displaystyle V_{2}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}
über die Definition des Skalarproduktes:
⟨
f
,
g
⟩
n
=
∫
−
n
+
n
f
(
x
)
¯
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}{\overline {f(x)}}\cdot g(x)\,{\rm {d}}x}
Berechnen Sie von
f
(
x
)
=
x
+
i
⋅
x
2
{\displaystyle f(x)=x+i\cdot x^{2}}
mit
f
∈
V
2
{\displaystyle f\in V_{2}}
allgemein den Wert der Halbnorm
‖
f
‖
n
{\displaystyle \|f\|_{n}}
für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen
Bearbeiten
Berechnen Sie von
f
(
x
)
=
x
+
i
⋅
x
2
{\displaystyle f(x)=x+i\cdot x^{2}}
und
g
(
x
)
=
i
⋅
x
+
1
{\displaystyle g(x)=i\cdot x+1}
mit
f
,
g
∈
V
2
{\displaystyle f,g\in V_{2}}
den Wert der Semiskalarproduktes
⟨
f
,
g
⟩
n
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{n}}
für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
.
Semiorthogonalität in Semihilberträumen
Bearbeiten
Sei
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
A
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})}
(Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
. Zwei Vektoren
x
,
y
∈
V
{\displaystyle x,y\in V}
heißen
α
{\displaystyle \alpha }
-orthogonal in
V
{\displaystyle V}
(
x
⊥
α
y
{\displaystyle x{\stackrel {{}_{{}_{\alpha }}}{\bot }}y}
), wenn
⟨
x
,
y
⟩
α
=
0
{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\alpha }=0}
und heißen
semiorthogonal (
x
⊥
A
y
{\displaystyle x{\stackrel {{}_{{}_{\mathcal {A}}}}{\bot }}y}
), wenn die Bedingung
⟨
x
,
y
⟩
α
=
0
{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\alpha }=0}
für alle für
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
gilt.
Sei
V
1
:=
C
(
R
,
R
)
{\displaystyle V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
der Vektorraum der stetigen Funktionen von
v
{\displaystyle v}
nach
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Man definiert zunächst für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Abbildungen von
V
1
×
V
1
{\displaystyle V_{1}\times V_{1}}
nach
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
wie folgt:
⟨
f
,
g
⟩
n
=
∫
−
n
+
n
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}f(x)\cdot g(x)\,{\rm {d}}x}
. Seien
f
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{2}+1}
und
g
(
x
)
:=
x
3
{\displaystyle g(x):=x^{3}}
als Beispielfunktion aus
V
1
{\displaystyle V_{1}}
gegeben.
Zeigen Sie, dass die Funktionen
f
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{2}+1}
und
g
(
x
)
:=
x
3
{\displaystyle g(x):=x^{3}}
, dass bzgl. des Systems mit
⟨
⋅
,
⋅
⟩
N
{\displaystyle \displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {N} }}
semiorthogonal zueinander sind.
Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen
Bearbeiten
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen
‖
f
‖
α
:=
⟨
f
,
f
⟩
α
{\displaystyle \|f\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{\alpha }}}}
übertragen werden.
|
⟨
g
,
f
⟩
α
|
≤
‖
g
‖
α
⋅
‖
f
‖
α
{\displaystyle |\langle g,f\rangle _{\alpha }|\leq \|g\|_{\alpha }\cdot \|f\|_{\alpha }}
Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung nach oben ab.
|
μ
g
,
α
(
f
)
|
=
|
⟨
g
,
f
⟩
α
|
≤
‖
g
‖
α
⏟
=:
M
α
⋅
‖
f
‖
α
{\displaystyle |\mu _{g,\alpha }(f)|=|\langle g,f\rangle _{\alpha }|\leq \underbrace {\|g\|_{\alpha }} _{=:M_{\alpha }}\cdot \|f\|_{\alpha }}
Die Stetigkeitskonstante aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen wird nun unmittelbar über die Halbnorm
M
α
:=
‖
g
‖
α
{\displaystyle M_{\alpha }:=\|g\|_{\alpha }}
geliefert.
Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität
μ
g
,
α
(
λ
⋅
f
)
=
⟨
g
,
λ
⋅
f
⟩
α
=
λ
⋅
⟨
g
,
f
⟩
α
=
λ
⋅
μ
g
,
α
(
f
)
{\displaystyle \mu _{g,\alpha }(\lambda \cdot f)=\langle g,\lambda \cdot f\rangle _{\alpha }=\lambda \cdot \langle g,f\rangle _{\alpha }=\lambda \cdot \mu _{g,\alpha }(f)}
und die Additivität
μ
g
,
α
(
f
1
+
f
2
)
=
⟨
g
,
f
1
+
f
2
⟩
α
=
⟨
g
,
f
1
⟩
α
+
⟨
g
,
f
2
⟩
α
=
μ
g
,
α
(
f
1
)
+
μ
g
,
α
(
f
2
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mu _{g,\alpha }(f_{1}+f_{2})&=&\langle g,f_{1}+f_{2}\rangle _{\alpha }\\&=&\langle g,f_{1}\rangle _{\alpha }+\langle g,f_{2}\rangle _{\alpha }\\&=&\mu _{g,\alpha }(f_{1})+\mu _{g,\alpha }(f_{2})\end{array}}}
q.e.d.
Begründen Sie, warum die Abbildung
μ
~
g
,
α
(
f
)
:=
⟨
f
,
g
⟩
α
{\displaystyle {\widetilde {\mu }}_{g,\alpha }(f):=\langle f,g\rangle _{\alpha }}
im Allgemeinen kein Maß auf
V
{\displaystyle V}
für Vektorräume über
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
ist!
Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen.
LibreOffice-Datei: handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods
Für Skalarprodukte
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
ist gibt es nur einen Vektoren aus
V
{\displaystyle V}
der die Bedingung
⟨
x
,
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
erfüllt - nämlich nur den Nullvektor
0
V
∈
V
{\displaystyle 0_{V}\in V}
. Im Allgemeinen ist die Menge
N
α
:=
{
x
∈
V
:
⟨
x
,
x
⟩
α
=
0
}
{\displaystyle N_{\alpha }:=\{x\in V\,:\,\langle x,x\rangle _{\alpha }=0\}}
ein Untervektorraum von
V
{\displaystyle V}
. Die abgeschlossene Menge
T
α
:=
V
∖
N
α
¯
{\displaystyle T_{\alpha }:={\overline {V\setminus N_{\alpha }}}}
nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte
⟨
⋅
,
⋅
⟩
α
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }}
Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern
Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert.
↑ Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.
↑ 2,0 2,1 J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.