Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper ${}R_{0}=K$. Es sei ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Modul über ${}R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen ${}M_{n}$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume sind. Dann nennt man die Funktion

$H_{M}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto \dim _{K}{\left(M_{n}\right)},$

die Hilbertfunktion zu ${}M$.

Beispiel

Sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring in ${}m$ Variablen über einem Körper ${}K$. Dann gibt es nach Aufgabe genau ${}{\binom {n+m-1}{m-1}}$ Monome vom Grad ${}n$. Dies ist somit die ${}K$-Vektorraumdimension der ${}n$-ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die Hilbertfunktion des graduierten ${}R$-Moduls ${}R$ ist also

${}{\begin{aligned}H_{R}(n)&={\binom {n+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}n^{m-1}+{\frac {m}{2(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$

Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Q}$, das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.

In einer Variablen ist ${}H_{R}$ konstant ${}=1$, in zwei Variablen ist ${}H_{R}(n)=n+1$, in drei Variablen ist ${}H_{R}(n)={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {3}{2}}n+1$, in vier Variablen ist ${}H_{R}(n)={\frac {(n+3)(n+2)(n+1)}{6}}={\frac {1}{6}}n^{3}+n^{2}+{\frac {11}{6}}n+1$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper ${}R_{0}=K$ und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}\mathbb {Z}$-graduierter Modul über ${}R$.

Dann sind die homogenen Stufen ${}M_{n}$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume.

Beweis

Zunächst ist ${}R$ ein Restklassenring eines standard-graduierten Polynomringes und somit sind die homogenen Stufen von ${}R$ nach Beispiel endlichdimensional. Nach Fakt gilt dies auch für die Stufen des Moduls.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper ${}R_{0}=K$ und sei ${}M$ ein endlich erzeugter graduierter ${}R$-Modul.

Dann ist die Hilbertfunktion ${}H_{M}$ von polynomialem Typ.

Beweis

Zunächst sind nach Fakt die Stufen ${}M_{d}$ endlichdimensional, so dass die Hilbertfunktion wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung ist das irrelevante Ideal ${}R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}$ endlich erzeugt, und zwar wird es von Elementen aus ${}R_{1}$ erzeugt. Wir führen Induktion über die Erzeugendenanzahl ${}r$ dieses Ideals. Bei ${}r=0$ ist ${}R=R_{0}=K$ ein Körper und ${}M$ ist als ganzes ein endlichdimensionaler Vektorraum. Deshalb sind alle Stufen ${}M_{d}$ zu hinreichend großen ${}d$ gleich ${}0$. Zum Induktionsschluss sei ${}R_{+}=(f_{1},\ldots ,f_{r})$ und ${}M$ ein endlicher erzeugter graduierter ${}R$-Modul. Der Restklassenring ${}S=R/(f_{r})$ ist ebenfalls standard-graduiert und sein irrelevantes Ideal besitzt einen Erzeuger weniger, auf ihn können wir also die Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Restklassenmodul ${}N=M/(f_{r})M$ ist (ein graduierter ${}R$- und damit auch) ein graduierter ${}S$-Modul. Folglich gibt es ein Polynom

${}Q\in \mathbb {Q} [X]\,$

mit ${}H_{N}(d)=Q(d)$ für ${}d$ hinreichend groß. Es liegt eine exakte Sequenz

$0\longrightarrow L={\left\{m\in M\mid f_{r}\cdot m=0\right\}}\longrightarrow M{\stackrel {\cdot f_{r}}{\longrightarrow }}M(1)\longrightarrow {\left(M/f_{r}M\right)}(1)\longrightarrow 0$

von graduierten endlich erzeugten ${}R$-Moduln vor. Dabei ist der Modul links ebenfalls ein ${}S$-Modul, und somit gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein weiteres Polynom ${}T\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}H_{L}(d)=T(d)$ für ${}d$ hinreichend groß. Da sich die Vektorraumdimensionen für exakte Komplexe von ${}K$-Vektorräumen additiv verhalten, gilt

${}H_{M}(d+1)-H_{M}(d)=H_{N}(d)-H_{L}(d)=Q(d)-T(d)\,$

für ${}d$ hinreichend groß. Ab einem gewissen ${}d_{0}$ verhält sich also der Zuwachs von ${}H_{M}(d)$ polynomial und daher ist nach Fakt die Funktion ${}H_{M}(d)$ selbst polynomial.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}F\in P=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ ein homogenes Polynom ${}\neq 0$ vom Grad ${}d$.

Dann ist die Hilbertfunktion von ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/(F)$ gleich (die zweite Gleichung gilt für ${}n\geq d$)

${}H_{R}(n)=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)={\frac {d}{(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}\,.$

Beweis

Es liegt eine kurze exakte Sequenz von graduierten ${}P$-Moduln

$0\longrightarrow P(-d){\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P\longrightarrow R\longrightarrow 0$

und damit auch für jede Stufe eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen ${}K$-Vektorräumen

$0\longrightarrow P_{n-d}{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P_{n}\longrightarrow R_{n}\longrightarrow 0$

vor. Daher gilt

${}H_{R}(n)=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\,.$

Nach Beispiel ist

${}H_{P}(n)={\binom {n+m-1}{m-1}}\,$

für ${}n\geq 0$. Somit ist für ${}n\geq d$

${}{\begin{aligned}H_{R}(n)&=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\\&={\binom {n+m-1}{m-1}}-{\binom {n-d+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}-{\frac {(n-d+m-1)\cdots (n-d+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}{\left({\frac {m(m-1)}{2}}+(m-1)d-{\frac {m(m-1)}{2}}\right)}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}\\&={\frac {d}{(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$

$\Box$

Aufgrund von Fakt ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper ${}R_{0}=K$ und sei ${}M$ ein endlicher erzeugter ${}\mathbb {Z}$-graduierter Modul über ${}R$. Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom

${}P_{M}\in \mathbb {Q} [X]\,$

mit ${}H_{M}(n)=P_{M}(n)$ für ${}n\gg 0$ das Hilbertpolynom zu ${}M$.