Trigonalisierbare lineare Abbildungen/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum der Dimension ${}n$ und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Eine Fahne

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}\,$

heißt ${}f$-invariant, wenn ${}f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle ${}i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlich-dimensionaler ${}K$-Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt${}f$ trigonalisierbar, wenn ${}V$ eine ${}f$-invariante Fahne besitzt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Die Abbildung ${}\varphi$ wird bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben.
3. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,.$

Da es sich dabei um eine ${}\varphi$-invariante Fahne handelt, gilt

$\varphi (v_{i})=b_{1i}v_{1}+b_{2i}v_{2}+\cdots +b_{ii}v_{i}.$

Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ obere Dreiecksgestalt.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also eine obere Dreiecksmatrix nehmen, und daher ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
${}(3)\Rightarrow (1)$. Induktion nach ${}n$, für ${}n=0$ ist nichts zu zeigen. Es sei nun ${}n\geq 1$ und sei die Aussage für alle Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension ${}<n$ schon bewiesen. Es sei ${}\lambda _{1}$ eine Nullstelle von ${}P=\chi _{\varphi }$. Dann gibt es nach Fakt einen Eigenvektor ${}v_{1}\in V$ zum Eigenwert ${}\lambda _{1}$. Es sei ${}u_{2},\ldots ,u_{n}$ eine Ergänzung von ${}v_{1}$ zu einer Basis von ${}V$. Wir setzen ${}U=\langle u_{2},\ldots ,u_{n}\rangle$, dies ist ein ${}(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum. Es ist

$\varphi (u_{i})=a_{i}v_{1}+b_{2i}u_{2}+\cdots +b_{ni}u_{n}.$

Durch die Festlegung

$g(u_{i})=a_{i}v_{1}\in V$

erhalten wir eine lineare Abbildung

$g\colon U\longrightarrow V,$

und durch die Festlegung

${}h(u_{i})=b_{i2}u_{2}+\cdots +b_{in}u_{n}\,$

erhalten wir eine lineare Abbildung

$h\colon U\longrightarrow U.$

Mit diesen Abbildungen gilt

${}\varphi (u)=g(u)+h(u)\,$

für ${}u\in U$, da dies für die Basis gilt. In der Basis ${}v_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ besitzt ${}\varphi$ die Gestalt

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\0&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\0&\vdots &\ddots &\vdots \\0&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{pmatrix}}.$

Die Teilmatrix ${}N$ rechts unten ist dabei die beschreibende Matrix von ${}h$. Für das charakteristische Polynom gilt die Beziehung

${}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})\chi _{N}\,,$

sodass nach Fakt auch

${}\chi _{N}=\chi _{h}\,$

in Linearfaktoren zerfällt. Wir können also auf ${}h\colon U\rightarrow U$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. D.h. es gibt eine ${}h$-invariante Fahne

${}0=U_{0}\subset U_{1}\subset \ldots \subset U_{n-2}\subset U_{n-1}=U\,.$

Damit definieren wir

${}V_{i+1}:=Kv_{1}+U_{i}\,$

für ${}i=0,\ldots ,n-1$ und erhalten die Fahne

$0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V.$

Diese Fahne ist ${}f$-invariant. Dies ist für ${}V_{1}$ klar, da dies ein Eigenraum ist. Ansonsten gilt für ${}v\in V_{i}$ mit ${}v=cv_{1}+u$ mit ${}u\in U_{i}$ die Beziehung

${}\varphi (cv_{1}+u)=c\lambda v_{1}+\varphi (u)=c\lambda v_{1}+g(u)+h(u)=(c\lambda +a)v_{1}+h(u)\,,$

und dies gehört zu ${}V_{i}$.

Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung ${}\varphi$ werde bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben, und bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ durch die obere Dreiecksmatrix ${}D$. Dann gilt nach Fakt die Beziehung ${}T=BMB^{-1}$, wobei ${}B$ den Basiswechsel beschreibt.

$\Box$