Vektorraum/Dualraum/Unterräume/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$ -Vektorraum nennt man

{}U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,

den Orthogonalraum zu ${}U$ .

Diese Orthogonalräume sind Untervektorräume von ${}{V}^{*}$ , siehe Aufgabe. Ob eine Linearform ${}f$ zu ${}U^{\perp }$ gehört, kann man auf einem Erzeugendensystem von ${}U$ überprüfen, siehe Aufgabe. Die Eigenschaft ${}f\in U^{\perp }$ ist äquivalent zu ${}U\subseteq \operatorname {kern} f$ .

Beispiel

Wir betrachten den Untervektorraum

{}U=\langle {\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.

Der Orthogonalraum zu ${}U$ besteht aus allen Linearformen

f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}

mit ${}f{\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}}=0$ und ${}f{\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}}=0$ . Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix ${}\left(a,\,b,\,c\right)$ gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems

{}8a+6b+5c=0\,,

{}4a+7b-3c=0\,.

Der Lösungsraum ist

{}U^{\perp }={\left\{s\left({\frac {17}{4}},\,1,\,-8\right)\mid s\in K\right\}}\,.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum mit einer Basis ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , und Dualbasis ${}v_{i}^{*}$ , ${}i\in I$ . Es sei

{}U=\langle v_{j},\,j\in J\rangle \,

zu einer Teilmenge ${}J\subseteq I$ . Dann ist

{}U^{\perp }=\langle v_{i}^{*},\,i\not \in J\rangle \,.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und ${}F\subseteq {V}^{*}$ ein Untervektorraum im Dualraum ${}{V}^{*}$ zu ${}V$ . Dann nennt man

{}F^{\perp }={\left\{v\in V\mid f(v)=0{\text{ für alle }}f\in F\right\}}\subseteq V\,

den Orthogonalraum zu ${}F$ .

Beispiel

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

über einem Körper ${}K$ gegeben, wobei wir die ${}i$ -te Gleichung als Kernbedingung für die Linearform

L_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j},

auffassen. Es sei

{}F=\langle L_{1},\ldots ,L_{m}\rangle \,

der von diesen Linearformen im Dualraum ${}{K^{n}}^{*}$ erzeugte Untervektorraum. Dann ist ${}F^{\perp }$ der Lösungsraum des Gleichungssystems.

Generell gilt die Beziehung

{}F^{\perp }=\bigcap _{f\in F}\operatorname {kern} f\,.

Insbesondere ist

{}\langle f\rangle ^{\perp }=\operatorname {kern} f\,.

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist
${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

Zu Untervektorräumen ${}F\subseteq F'\subseteq {V}^{*}$ ist
${}F^{\perp }\supseteq F'^{\perp }\,.$

Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist
${}\left(U^{\perp }\right)^{\perp }=U\,$

und

${}\left(F^{\perp }\right)^{\perp }=F\,.$

Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist
${}\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,$

und

${}\dim _{K}{\left(F^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(F\right)}\,.$

Beweis

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion

{}U\subseteq {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }\,

ist auch klar. Sei ${}v\in V$ , ${}v\not \in U$ . Dann kann man eine Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$ von ${}U$ zu einer Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{r},v,v_{1},\ldots ,v_{\ell }$ von ${}V$ ergänzen. Die Linearform ${}v^{*}$ verschwindet auf ${}U$ und gehört daher zu ${}U^{\perp }$ . Wegen

{}v^{*}(v)=1\neq 0\,

ist ${}v\notin {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$ .

Die Inklusion

{}F\subseteq \left(F^{\perp }\right)^{\perp }\,

gilt wieder direkt. Es sei ${}f\in \left(F^{\perp }\right)^{\perp }$ , also

{}F^{\perp }\subseteq \operatorname {kern} f\,.

Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}F$ . Nach Aufgabe gilt, dass ${}f$ eine Linearkombination der ${}f_{i}$ ist, also ${}f\in F$ .

(4). Wir beweisen zuerst den zweiten Teil. Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{r}$ eine Basis von ${}F$ und es sei

\varphi \colon V\longrightarrow K^{r}

die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist

{}F^{\perp }=\operatorname {kern} \varphi \,.

Wenn die Abbildung ${}\varphi$ nicht surjektiv wäre, so wäre ${}\operatorname {bild} \varphi$ ein echter Untervektorraum von ${}K^{r}$ und hätte maximal die Dimension ${}r-1$ . Es sei ${}W$ ein ${}(r-1)$ -dimensionaler Untervektorraum mit