Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Elliptisches

Aufgabe

Wir betrachten die ebene projektive Kurve

${}C=V_{+}(Y^{2}Z-X^{2}Z-X^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{}^{2}\,$

über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass ${}P=(0,0,1)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass man auf ${}C\setminus \{P\}$ wie im elliptischen Fall (mit ${}{\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutralem Element) eine Gruppenverknüpfung definieren kann.
3. Zeige, dass die Normalisierungsabbildung

   ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v+2uv^{2},u^{3}+3u^{2}v+2uv^{2},v^{3}),$

   die beiden Punkte ${}(0,1)$ und ${}(-2,1)$ auf ${}P$ abbildet und ansonsten bijektiv ist (vergleiche Beispiel).

4. Zeige unter Verwendung von Aufgabe, dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf

   ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\cong D_{+}(u(u+2v))={\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus \{(0,1),(-2,1)\}\,$

   einen Gruppenisomorphismus zwischen ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{1\}$ und ${}C\setminus \{P\}$ definiert, wobei die punktierte Gerade mit der Multiplikation versehen ist.

Lemma

Zwei Gitter ${}\Gamma _{1}$ und ${}\Gamma _{2}$

sind genau dann streckungsäquivalent, wenn ${}j(\Gamma _{1})=j(\Gamma _{2})$ gilt.

Beweis

Gitter/Komplexe Zahlen/Absolute Invariante/Streckungsäquivalent/Fakt/Beweis

$\Box$

Elliptische Kurve/Isogenie/Duale Isogenie/Textabschnitt

Satz

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$.

Dann ist der Grad

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(E_{1},E_{2}\right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\varphi \longmapsto \operatorname {Grad} \,(\varphi ),$

eine positiv definite quadratische Form (hierbei bekommt die konstante Abbildung nach ${}{\mathfrak {O}}$ den Grad ${}0$).

Beweis

Elliptische Kurve/Homomorphismengruppe/Grad/Positiv definit/Fakt/Beweis

$\Box$

Wenn ${}E$ eine elliptische Kurve über dem Körper ${}K$ und ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist, so ist

$E_{L}\longrightarrow E$

endlich étale, aber über einem ${}K$-Punkt liegen nicht verschiedene ${}K$-Punkte, sondern ein ${}L$-Punkt. Wenn ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so liegen bei einer étalen Erweiterung vom Grad ${}d$ über jedem Punkt ${}d$ Punkte.

Die drei Punkte seien ${}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$. Die Summe der ersten beiden Punkte ist

${}(x,y)=\left(\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2},\,-\alpha ^{3}+\alpha (x_{1}+x_{2})-\beta \right)\,$

mit

${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+a}{y_{2}+y_{1}}}\,$

und

${}\beta =y_{1}-\alpha x_{1}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\,.$

Die Summe von diesem Element mit ${}(x_{3},y_{3})$ ist in der ersten Komponente

${}\gamma ^{2}-x-x_{3}=\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+x_{1}+x_{2}-x_{3}\,$

mit

${}\gamma ={\frac {y_{3}-y}{x_{3}-x}}\,$

${\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}$

$-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}{\left(\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-x_{1}-x_{2}\right)}-y_{1}+\alpha x_{1}$

${}={\frac {ax+ax_{3}+2b-2yy_{3}+x^{2}x_{3}+xx_{3}^{2}}{x^{2}-2xx_{3}+x_{3}^{2}}}\,$

Lemma

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$ und seien

$\theta _{1},\theta _{2}\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

endliche Morphismen mit

${}\theta _{i}(x,y)=\left(f_{i}(x)+g_{i}(x)y,\,p_{i}(x)+q_{i}(x)y\right)\,$

(${}i=1,2$) im Sinne von Fakt.

Dann wird die Summe

$\theta _{1}+\theta _{2}\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

durch ${}\left(f+gy,\,p+qy\right)$ mit

${}f=\,,$

${}g=\,,$

${}p=\,$

und

${}q=\,$

beschrieben.

Beweis

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\theta _{1}(x,y)+\theta _{2}(x,y)&=\left(f_{1}+g_{1}y,\,p_{1}+q_{1}y\right)+\left(f_{2}+g_{2}y,\,p_{2}+q_{2}y\right)\\&=\left(\alpha ^{2}-(f_{1}+f_{2})-(g_{1}+g_{2})y,\,-\alpha ^{3}+\alpha (2f_{1}+f_{2}+(2g_{1}+g_{2})y)-p_{1}-q_{1}y\right)\\&=\left(f+gy,\,p+qy\right)\end{aligned}}$

mit

${}{\begin{aligned}\alpha &={\frac {p_{2}-p_{1}+(q_{2}-q_{1})y}{f_{2}-f_{1}+(g_{2}-g_{1})y}}\\&={\frac {{\left(p_{2}-p_{1}+(q_{2}-q_{1})y\right)}{\left(f_{2}-f_{1}-(g_{2}-g_{1})y\right)}}{{\left(f_{2}-f_{1}+(g_{2}-g_{1})y\right)}{\left(f_{2}-f_{1}-(g_{2}-g_{1})y\right)}}}\\&={\frac {(p_{2}-p_{1})(f_{2}-f_{1})+(q_{2}-q_{1})(g_{2}-g_{1})(x^{3}+ax+b)+((p_{2}-p_{1})(g_{2}-g_{1})+(q_{2}-q_{1})(f_{2}-f_{1}))y}{(f_{2}-f_{1})^{2}-(g_{2}-g_{1})^{2}(x^{3}+ax+b)}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}f&={\frac {((p_{2}-p_{1})(f_{2}-f_{1})+(q_{2}-q_{1})(g_{2}-g_{1})(x^{3}+ax+b))^{2}+((p_{2}-p_{1})(g_{2}-g_{1})+(q_{2}-q_{1})(f_{2}-f_{1}))^{2}(x^{3}+ax+b)}{((f_{2}-f_{1})^{2}-(g_{2}-g_{1})^{2}(x^{3}+ax+b))^{2}}}-(f_{1}+f_{2})\\\end{aligned}}$

$\Box$

Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Divisoren/Einführung/Textabschnitt

Elliptische Integrale/Bogenlängen/Einführung/Textabschnitt

Gitter/Komplexe Zahlen/Geradenbündel/Textabschnitt

Bemerkung  

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

${}y^{2}=x^{3}+rx^{2}+sx+t\,$

vorliegt. Es sei ${}O$ der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in Bemerkung beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir ${}O$ als neutrales Element fest. Somit ist ${}-O=O$ und

${}O+P=P\,$

für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt ${}O$ wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt

${}P=(x,y)\,$

ist

${}-P=(x,-y)\,.$

Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort ${}y$ allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte ${}P,-P$ und ${}O$ auf der durch

${}X-x=0\,$

gegebenen Geraden. Wenn hierbei ${}y=0$ ist, so ist

${}-P=P\,$

und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.

Zur Berechnung der Addition seien die beiden (verschiedenen) Punkte durch

${}P=(x_{1},y_{1})\,$

und

${}P=(x_{2},y_{2})\,$

gegeben. Die verbindende Gerade ist dann

${}(y_{2}-y_{1})X-(x_{2}-x_{1})Y-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=0\,$

(einfach die beiden Punkte einsetzen). Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn ${}x_{1}=x_{2}$ ist, so ist

${}y_{1}=-y_{2}\,,$

und die verbindende Gerade wird wie oben zu

${}X-x_{1}=0\,$

mit ${}O$ als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist

${}P+Q+O=O\,.$

Es sei nun ${}x_{1}\neq x_{2}$. Wir schreiben die Geradengleichung als

${}Y=\alpha X+\beta \,$

mit

${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,$

und

${}{\begin{aligned}\beta &=y_{1}-\alpha x_{1}\\&=y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}x_{1}\\&={\frac {(x_{2}-x_{1})y_{1}-x_{1}(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}.\end{aligned}}$

Ein Punkt auf der Geraden hat die Form ${}(x,\alpha x+\beta )$. Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu

${}{\left(\alpha x+\beta \right)}^{2}=\alpha ^{2}x+2\alpha \beta x+\beta ^{2}=x^{3}+rx^{2}+sx+t\,$

bzw. zu

${}x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}-rx^{2}-sx-t=0\,.$

Von dieser Gleichung in der einen Variablen ${}x$ kennen wir aber schon die Lösungen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$. Deshalb gilt

${}x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}-rx^{2}-sx-t=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,$

mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung ${}x_{3}$. Der Koeffizient zu ${}x^{2}$ führt auf

${}\alpha ^{2}-r=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-r-x_{1}-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-r-x_{1}-x_{2}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-{\frac {{\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right)}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-r\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}-x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-r.\end{aligned}}$

Bemerkung  

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

vorliegt. Es sei ${}{\mathfrak {O}}$ der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in Bemerkung beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir ${}{\mathfrak {O}}$ als neutrales Element fest. Somit ist ${}-{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}$ und

${}{\mathfrak {O}}+P=P\,$

für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt ${}{\mathfrak {O}}$ wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt

${}P=(x,y)\,$

ist

${}-P=(x,-y)\,.$

Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort ${}y$ allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte ${}P,-P$ und ${}{\mathfrak {O}}$ auf der durch

${}X-x=0\,$

gegebenen Geraden. Wenn hierbei ${}y=0$ ist, so ist

${}-P=P\,$

und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.

Zur Berechnung der Addition seien die beiden (verschiedenen) Punkte durch

${}P=(x_{1},y_{1})\,$

und

${}Q=(x_{2},y_{2})\,$

gegeben. Die verbindende Gerade ist dann

${}(y_{2}-y_{1})X-(x_{2}-x_{1})Y-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=0\,$

(einfach die beiden Punkte einsetzen). Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn ${}x_{1}=x_{2}$ ist, so ist

${}y_{1}=-y_{2}\,,$

und die verbindende Gerade wird wie oben zu

${}X-x_{1}=0\,$

mit ${}{\mathfrak {O}}$ als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist

${}P+Q+{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\,.$

Es sei nun ${}x_{1}\neq x_{2}$. Wir schreiben die Geradengleichung als

${}Y=\alpha X+\beta \,$

mit

${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,$

und

${}{\begin{aligned}\beta &=y_{1}-\alpha x_{1}\\&=y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}x_{1}\\&={\frac {(x_{2}-x_{1})y_{1}-x_{1}(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}.\end{aligned}}$

Ein Punkt auf der Geraden hat die Form ${}(x,\alpha x+\beta )$. Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu

${}{\left(\alpha x+\beta \right)}^{2}=\alpha ^{2}x+2\alpha \beta x+\beta ^{2}=x^{3}+ax+b\,$

bzw. zu

${}x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}-ax-b=0\,.$

Von dieser Gleichung in der einen Variablen ${}x$ kennen wir aber schon die Lösungen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$. Deshalb gilt

${}x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}-ax-b=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,$

mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung ${}x_{3}$. Der Koeffizient zu ${}x^{2}$ führt auf

${}\alpha ^{2}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-x_{1}-x_{2}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-{\frac {{\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right)}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}-x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\\&={\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}y_{3}&=-\alpha x_{3}-\beta \\&=-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}{\left(\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-x_{1}-x_{2}\right)}-y_{1}+\alpha x_{1}\end{aligned}}$

Aus Beweis:

Die Rechnungen weiter oben führen auf

${}\alpha ^{2}=2x_{1}+x_{3}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-2x_{1}\\&=\left({\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}\right)^{2}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}}{4y_{1}^{2}}}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}-8x_{1}y_{1}^{2}}{4y_{1}^{2}}}\end{aligned}}$

und

${}y_{3}=\alpha x_{3}+\beta \,.$

Bei ${}y_{1}=0$ ist ${}x_{1}$ eine Nullstelle von ${}x^{3}+ax+b$ und die Tangente ist durch ${}x=x_{1}$ gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist ${}{\mathfrak {O}}$.

Mit dieser Steigung ${}\alpha$ ist stets

${}x_{3}=\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}\,$

und

${}y_{3}=-\alpha x_{3}-\beta \,$

mit ${}\beta =y_{1}-\alpha x_{1}$.

${}{\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-x_{1}-x_{2}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-{\frac {{\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right)}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}-x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\\&={\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}.\end{aligned}}$

Bemerkung  

Bei gegeben ${}x_{1},x_{2}$ ist ${}x_{3}$ nicht bestimmt, da es von ${}y_{1},y_{2}$ abhängt. Allerdings gibt es für ${}y_{1},y_{2}$ jeweils nur zwei Möglichkeiten, die jeweils negativ zueinander sind. Aus der Bedingung

${}x_{3}={\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\,$

ergibt sich

${}x_{3}(x_{1}-x_{2})^{2}-a(x_{1}+x_{2})-2b-x_{1}^{2}x_{2}-x_{1}x_{2}^{2}=-2y_{1}y_{2}\,$

und daraus

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,x_{3}^{2}(x_{1}-x_{2})^{4}-2(x_{1}-x_{2})^{2}{\left(a(x_{1}+x_{2})+2b+x_{1}^{2}x_{2}-x_{1}x_{2}^{2}\right)}x_{3}+a^{2}(x_{1}+x_{2})+4b^{2}+x_{1}^{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{4}\\&=4y_{1}^{2}y_{2}^{2}\\&=4(x_{1}^{3}+ax_{1}+b)(x_{2}^{3}+ax_{2}+b),\,\end{aligned}}$

d.h. ${}x_{3}$ erfüllt eine explizite quadratische Gleichung über einem von rational von ${}x_{1},x_{2}$ abhängigen Ausdruck.

Bemerkung  

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

vorliegt. Die Tangente in einem Punkt ${}(x_{1},y_{1})$ ist durch die lineare Gleichung

${}(3x_{1}^{2}+a)(x-x_{1})-2y_{1}(y-y_{1})=0\,$

gegeben. Diese Gerade hat mit der Kurve in ${}(x_{1},x_{2})$ einen doppelten Schnittpunkt und es muss noch einen weiteren Schnittpunkt geben. Wenn man die Gleichung nach ${}y$ auflöst, so erhält man (bei ${}y_{1}\neq 0$)

${}{\begin{aligned}y&={\frac {{\left(3x_{1}^{2}+a\right)}x-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&={\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}x+{\frac {-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&=\alpha x+\beta .\end{aligned}}$

Die Rechnungen aus Bemerkung führen auf

${}\alpha ^{2}=2x_{1}+x_{3}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-2x_{1}\\&=\left({\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}\right)^{2}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}}{4y_{1}^{2}}}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}-8x_{1}y_{1}^{2}}{4y_{1}^{2}}}\end{aligned}}$

und

${}y_{3}=\alpha x_{3}+\beta \,.$

Bei ${}y_{1}=0$ ist ${}x_{1}$ eine Nullstelle von ${}x^{3}+ax+b$ und die Tangente ist durch ${}x=x_{1}$ gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist ${}{\mathfrak {O}}$.

Bemerkung  

In Charakteristik ${}\neq 2,3$ lässt sich eine elliptische Kurve durch eine Weierstraßgleichung der Form

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

in inhomogener bzw.

${}y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}\,$

in homogener Form beschreiben. Dabei ist

${}-4a^{3}-27b^{2}\neq 0\,$

die Bedingung für die Glattheit. Bei ${}b\neq 0$ sind ${}(x,y)$ Parameter und ${}(y,z)$ sind stets Parameter im Kegel, ${}(x,z)$ dagegen nicht. Das Bündel ${}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)$ besitzt durch ${}(x,-z,ax+bz)$ einen nichttrivalen Schnitt, der allerdings eine Nullstelle im Punkt ${}(0,1,0)$ hat.

Wir ersetzen ${}y$ durch ${}w+cz$, wir arbeiten also mit der neuen Variablen ${}w$, die anderen Variablen bleiben gleich. Dann erhält man die neue Kurvengleichung

${}{\begin{aligned}x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-zy^{2}&=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-z(w+cz)^{2}\\&=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-zw^{2}-2cwz^{2}-c^{2}z^{3}\\&=x^{3}-zw^{2}+z^{2}{\left({\left(b-c^{2}\right)}z-2cw+ax\right)}.\end{aligned}}$

Wir wählen ${}c\neq 0$. Dann ist jedenfalls das Tupel ${}(x,-z,{\left(b-c^{2}\right)}z-2cw+ax)$ nullstellenfrei und wir haben einen nullstellenfreien Schnitt von ${}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},w^{2},z^{2}\right)}(3)$, d.h. dies ist eine Realisierung von ${}F_{2}$ als Syzygienbündel. Dabei sind ${}(z,w)$ Parameter und bei

${}b-c^{2}\neq 0\,$

auch ${}(x,w)$ Parameter. Letzteres kann man unter der Charakteristikbedingung stets erreichen.