Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Ein Diffeomorphismus und seine Umkehrabbildung sind stetig, daher liegt eine Bijektion der messbaren Teilmengen von und von vor. Wir betrachten die beiden Zuordnungen
also das Maß auf mit der Dichte , und
also das
Bildmaß
von unter der Umkehrabbildung , und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind.
Nach
Fakt
gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund von
Aufgabe
bzw.
Fakt
gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. „nach oben halboffenen“ achsenparallelen Quader, also Produkte von
nach oben halboffenen Intervallen.
Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen
Mengen-Präring im . Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles
Erzeugendensystem
für das System der
Borelmengen.
Daher müssen nach
Fakt