Dualraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

${}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$.

Die Addition und die Skalarmultiplikation sind wie allgemein im Fall von Homomorphismenräumen definiert, also ${}(f+g)(v):=f(v)+g(v)$ und ${}(sf)(v):=s\cdot f(v)$. Bei endlichdimensionalem ${}V$ ist nach Fakt die Dimension des Dualraumes ${}{V}^{*}$ gleich der Dimension von ${}V$.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann nennt man die Linearformen

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,,$

die durch

${}v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,$

festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.

Wegen Fakt ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform ${}v_{i}^{*}$ ordnet einem beliebigen Vektor ${}v\in V$ die ${}i$-te Koordinate von ${}v$ bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu ${}v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}$ ist ja

${}v_{i}^{*}(v)=v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{i}^{*}(v_{j})=s_{i}\,.$

Es ist wichtig zu betonen, dass ${}v_{i}^{*}$ nicht nur von dem Vektor ${}v_{i}$, sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen „dualen Vektor“ zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf ${}V$ ein Skalarprodukt gegeben ist.

Beispiel

Zur Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ im ${}K^{n}$ besteht die Dualbasis aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich ${}e_{i}^{*}=p_{i}$ mit

$p_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i}.$

Sie heißt die Standarddualbasis.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$.

Dann bildet die Dualbasis

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,$

eine Basis des Dualraums.

Beweis

Es sei

${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}^{*}=0\,$

mit ${}a_{j}\in K$. Wenn wir diese Linearform auf ${}v_{i}$ anwenden, so ergibt sich direkt

${}a_{i}=0\,.$

Die ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ sind also linear unabhängig. Nach Fakt besitzt der Dualraum die Dimension ${}n$, daher muss bereits eine Basis vorliegen.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und der Dualbasis

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,.$

Dann gilt für jeden Vektor ${}v\in V$ die Gleichheit

${}v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}(v)v_{i}\,.$

D.h. die Linearformen ${}v_{i}^{*}$ ergeben die Skalare (Koordinaten) eines Vektors bezüglich einer Basis.

Beweis

Der Vektor ${}v$ hat eine eindeutige Darstellung

${}v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\,$

mit ${}s_{j}\in K$. Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit

${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}(v)v_{i}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=v\,.$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit der Dualbasis ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine weitere Basis mit der Dualbasis ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{n}^{*}$ und mit

${}w_{r}=\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\,.$

Dann ist

${}w_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\,,$

wobei ${}{\left(b_{ij}\right)}_{ij}={{\left(A^{-1}\right)}^{\text{tr}}}$ die Transponierte der inversen Matrix von ${}A={\left(a_{kr}\right)}_{kr}$ ist.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}(w_{r})&={\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}b_{ij}a_{kr}v_{i}^{*}(v_{k})\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}a_{ir}.\end{aligned}}$

Hier steht das „Produkt“ aus der ${}j$-ten Spalte von ${}B$ und der ${}r$-ten Spalte von ${}A$, also das Produkt aus der ${}j$-ten Zeile von ${}{B^{\text{tr}}}=A^{-1}$ und der ${}r$-ten Spalte von ${}A$. Bei ${}r=j$ ist dies ${}1$ und bei ${}r\neq j$ ist dies ${}0$. Daher stimmt die angegebene Linearform mit ${}w_{j}^{*}$ überein.

$\Box$

Mit Basiswechselmatrizen kann man dies auch als

${}M_{\mathfrak {v^{*}}}^{\mathfrak {w^{*}}}={({\left(M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}\right)}^{-1})^{\text{tr}}}={(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}})^{\text{tr}}}\,$

ausdrücken.