Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	3	3	2	9	0	0	0	0	0	0	0	0	30

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Assoziiertheit von Elementen ${}a,b$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Hauptidealbereich.
3. Ein pythagoreisches Tripel.
4. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Die konvexe Hülle von ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
6. Den Divisor zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$.

Lösung

1. Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.
2. Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
3. Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung

   ${}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$

4. Bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man die ${}K$-(Vektorraum-)Dimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.
5. Die kleinste konvexe Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die ${}U$ umfasst, heißt die konvexe Hülle von ${}U$.
6. Man nennt den Divisor

   ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

   mit

   ${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} \{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f):\,f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\}\,$

   den Divisor zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$ mit zyklischer Einheitengruppe.
2. Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.
3. Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.

Lösung

1. Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist genau dann zyklisch, wenn

   ${}n=1,2,4,p^{s},2p^{s}\,$

   ist, wobei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}s\geq 1$ ist.
2. Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel mit ${}y$ gerade und mit ${}z\neq -x$. Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen ${}(u,v)$ mit ${}v>0$ und ${}a\in \mathbb {Z}$ und mit

   $x=a(v^{2}-u^{2}),\,y=a(2uv),\,z=a(u^{2}+v^{2}).$

   Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn ${}a$ eine Einheit ist und ${}u$ und ${}v$ nicht beide ungerade sind.
3. Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von ${}0$ verschiedene Primideal von ${}R$ bereits ein maximales Ideal.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über ${}n$.  Für ${}n=2$ liegt eine Primzahl vor. Bei ${}n\geq 3$ ist entweder ${}n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ${}n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung ${}n=ab$ mit kleineren Zahlen ${}a,b<n$. Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für ${}n$ zusammen. 

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen ${}a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt ${}a\cdot b\cdot c$ minimal?

Lösung

Wir können

${}a<b<c\,$

annehmen. Das Produkt ${}abc$ hat zumindest die Teiler

$1,a,b,c,ab,ac,bc,abd,$

wobei allerdings welche identisch sein können. Da aber alle Zahlen ${}a,b,c$ größer als ${}1$ und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist ${}ac>b$ und ${}bc>a$. Es kann allenfalls

${}c=ab\,$

sein. Es gibt also mindestens ${}7$ Teiler. Wählt man ${}a=2$, ${}b=4$ und ${}c=8$, so ist

${}abc=2\cdot 4\cdot 8=64=2^{6}\,,$

und dies hat in der Tat sieben Teiler.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Lösung

Die multiplikative Ordnung ist ein Teiler von ${}12$. Wir bestimmen zuerst die Ordnung von ${}2$. Es ist

$2^{2}=4\neq 1,\,2^{3}=8\neq 1,\,2^{4}=16=3\neq 1,\,2^{6}=64=-1.$

Daher muss die Ordnung ${}12$ sein und ${}2$ ist eine primitive Einheit. Daher gibt es einen

Gruppenisomorphismus

$(\mathbb {Z} /(12),+,0)\longrightarrow \mathbb {Z} /(13)^{\times },\,n\longmapsto 2^{n},$

der Erzeuger auf Erzeuger abbildet. Die Erzeuger links sind ${}1,5,7,11$ (die zu ${}12$ teilerfremden Zahlen), und diese werden auf die primitiven Einheiten

$2^{1}=2,\,2^{5}=32=6,\,2^{7}=6\cdot 4=11,\,2^{11}=2^{-1}2^{12}=2^{-1}=7$

abgebildet.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}p$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Lösung

Es sei ${}x\in R$, ${}x\neq 0$. Wir betrachten die von ${}x$ erzeugte additive Untergruppe von ${}R$. Wegen ${}x\neq 0$ handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt ${}x$ schon ganz ${}R$. Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}nx=1\,.$

Da jeder Ring die natürlichen Zahlen enthält, bedeutet dies, dass ${}x$ eine Einheit ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

$\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$

wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Lösung

Die Restklasse ${}x$ in der Quadratrestgruppe werde durch ${}q={\frac {n}{m}}$ repräsentiert. Da Quadrate in der Quadratrestgruppe gleich ${}1$ sind, hat man ${}[q]=[qm^{2}]=[nm]$, d.h. man hat einen Vertreter aus ${}\mathbb {Z}$. Sei${}\pm p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$ dessen kanonische Primfaktorzerlegung. Durch sukzessive Multiplikation mit den Quadraten (in ${}\mathbb {Q}$) ${}p_{i}^{-2}$ kann man die Exponenten zu ${}0$ oder zu ${}1$ machen und erhält einen quadratfreien Repräsentanten.

Aufgabe (9 Punkte)

Zeige, dass die diophantische Gleichung

${}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$

keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

Lösung

Es sei ${}(x,y,z)$ eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind ${}\neq 0$. Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven ${}z$ (unter allen nichttrivialen Lösungen). Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven ${}z_{1}$ gibt, was einen Widerspruch bedeutet.

Wegen der Minimalität ist ${}(x,y,z)$ primitiv, die Einträge sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir können ${}x$ als ungerade annehmen. Es ist dann

$(x^{2},y^{2},z)$

ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen ${}(u,v)$ mit

$x^{2}=u^{2}-v^{2},\,y^{2}=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}$

und mit ${}u+v$ ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo ${}4$ zeigt, dass ${}u$ ungerade sein muss (und ${}v$ gerade). Die erste Gleichung

${}u^{2}=x^{2}+v^{2}\,$

ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen ${}(r,s)$ mit

$x=r^{2}-s^{2},\,v=2rs,\,u=r^{2}+s^{2}$

(${}x$ ist ungerade, ${}v$ gerade) mit ${}r+s$ ist ungerade. Somit sind ${}r,s,r^{2}+s^{2}=u$ paarweise teilerfremd. Aus

${}y^{2}=2uv=4(r^{2}+s^{2})rs\,$

folgt

${}\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}=(r^{2}+s^{2})rs\,$

und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also

$r=x_{1}^{2},\,s=y_{1}^{2},\,r^{2}+s^{2}=z_{1}^{2}.$

Damit ist

${}z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=x_{1}^{4}+y_{1}^{4}\,$

eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen

${}z_{1}\leq z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=u<u^{2}+v^{2}=z\,$

widerspricht dies der Minimalität von ${}z$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

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