Endomorphismus/Trigonalisierbar/Invariante Untervektorräume/Textabschnitt

Ein trigonalisierbarer Endomorphismus wird bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Gestalt

${}M={\begin{pmatrix}a_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&a_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&a_{n}\end{pmatrix}}\,$

beschrieben. Eigenschaften, die für eine solche obere Dreiecksmatrix gelten und die als eine Eigenschaft der linearen Abbildung beschreibbar, also unabhängig von einer gewählten Basis sind, müssen für eine trigonalisierbare Abbildung gelten. Solche Eigenschaften wollen wir verstehen. Durch eine obere Dreiecksmatrix wird der ${}j$-te Standardvektor ${}e_{j}$ auf

${}Me_{j}=a_{1j}e_{1}+\cdots +a_{jj}e_{j}\,$

abgebildet. Insbesondere ist ${}e_{1}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}a_{11}$. Charakteristisch für trigonalisierbare Abbildungen ist, dass der Untervektorraum

${}V_{j}=\langle e_{1},\ldots ,e_{j}\rangle \,$

durch ${}M$ in sich selbst hinein abgebildet wird, d.h. die ${}V_{j}$ sind ${}M$-invariante Untervektorräume, die ineinander enthalten sind und deren Dimension gleich ${}j$ ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass diese Eigenschaft trigonalisierbare Abbildungen charakterisiert.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert von ${}\varphi$.

Dann gibt es einen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum ${}U\subset V$ der Dimension ${}n-1$.

Beweis

Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt die Abbildung ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ einen nichttrivialen Kern. Sie ist also nicht injektiv und nach Fakt auch nicht surjektiv. Daher ist

${}B:=\operatorname {bild} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}\subset V\,$

ein echter Unterraum von ${}V$. Es gibt dann auch einen Untervektorraum ${}U\subset V$ der Dimension ${}n-1$, der ${}B$ enthält. Zu ${}u\in U$ gehört wegen

${}\varphi (u)=\lambda u+(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V})u\in U+B\subseteq U\,$

das Bild zu ${}U$, d.h. ${}U$ ist ${}\varphi$-invariant.

$\Box$

Wenn ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$-invarianter Untervektorraum und ${}P\in K[X]$ ein Polynom ist, so ist ${}U$ auch ${}P(\varphi )$-invariant, siehe Aufgabe. In dieser Situation gilt die folgende Gleichheit.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$-invarianter Untervektorraum.

Dann gilt zu jedem Polynom ${}P\in K[X]$ die Beziehung

${}P{\left(\varphi {|}_{U}\right)}={\left(P(\varphi )\right)}{|}_{U}\,,$

wobei hier ${}\varphi {|}_{U}$ die im Definitionsbereich und auch im Bildbereich eingeschränkte Abbildung bezeichnet.

Beweis

Dies überprüft man direkt für die Potenzen ${}X^{n}$ und für Linearkombinationen davon.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$-invarianter Untervektorraum und

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U$

die Einschränkung auf ${}U$ (auch im Bildbereich).

Dann ist das Minimalpolynom zu ${}\varphi$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms von ${}\varphi {|}_{U}$.

Beweis

Es sei ${}\mu$ das Minimalpolynom zu ${}\varphi$. Für ${}u\in U$ ist nach Fakt

${}\mu {\left(\varphi {|}_{U}\right)}(u)=\mu (\varphi )(u)=0\,.$

Daher annulliert ${}\mu$ den eingeschränkten Endomorphismus ${}\varphi {|}_{U}$ und daher ist ${}\mu$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms von ${}\varphi {|}_{U}$.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Permutationsmatrix

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.$

Es ist ${}K{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$, ferner ist

${}U=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,$

ein invarianter Untervektorraum (der sich über ${}{\mathbb {C} }$ gemäß Fakt in weitere Eigenräume zerlegen lässt). Bezüglich der angegebenen Basis besitzt die Einschränkung der linearen Abbildung auf ${}U$ die beschreibende Matrix

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}},$

somit ist das charakteristische Polynom davon gleich

${}X(X+1)+1=X^{2}+X+1\,.$

Dies ist zugleich das Minimalpolynom der Einschränkung. Das Minimalpolynom zur Permutationsmatrix ist ${}X^{3}-1$, und in der Tat ist

${}X^{3}-1=(X-1)(X^{2}+X+1)\,$

in Übereinstimmung mit Fakt.