Glatte Kurve/Weildivisoren/Rückzug/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

$\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor ${}D=\sum _{P}a_{P}\cdot P$ auf ${}C_{2}$ nennt man

${}\varphi ^{*}D:=\sum _{Q\in C_{1}}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}a_{\varphi (Q)}\cdot Q\,$

den zurückgezogenen Weildivisor.

Insbesondere gilt für einen Punkt ${}P\in C$

${}\varphi ^{*}P=\sum _{Q\in \varphi ^{-1}(P)}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}P\right)}\cdot Q\,.$

Die Abbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Div} {\left(C_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(C_{1}\right)}$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Satz

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

$\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$

zwischen irreduziblen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Hauptdivisor ${}D=\sum _{P}a_{P}\cdot P=\operatorname {div} {\left(q\right)}$ auf ${}C_{2}$ mit ${}q\in Q(C_{2})$, ${}q\neq 0$,

stimmt der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}(D)$ mit dem Hauptdivisor zu ${}q\in Q(C_{1})$ auf ${}C_{1}$ überein.

Beweis

Wegen der Nichtkonstanz gehört zu ${}\varphi$ eine Körpererweiterung ${}Q(C_{2})\subseteq Q(C_{1})$ und zu jedem Punkt ${}Q\in C_{1}$ liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{C_{1},Q}&\\\downarrow &&\downarrow &\\Q(C_{2})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Q(C_{1})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von injektiven Ringhomomorphismen vor, wobei in der ersten Zeile diskrete Berwertungsringe stehen. Wenn

${}q=u\pi _{2}^{n}\,$

mit einer Einheit ${}u\in {\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}$ und einer Ortsuniformisierenden ${}\pi _{2}\in {\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}$ gilt, so ist

${}q=u\pi _{2}^{n}=u{\left(u'\pi _{1}^{\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}}\right)}^{n}=uu'\pi _{1}^{n\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}}\,$

mit einer Orstuniformisierenden ${}\pi _{1}$ von ${}{\mathcal {O}}_{C_{1},Q}$, woraus die Aussage folgt.

$\Box$

Die vorstehende Aussage sichert, dass

$\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$

einen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {DKG} {\left(C_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(C_{1}\right)}$

induziert.

Korollar

Es sei ${}C$ eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}Q$ der Funktionenkörper von ${}C$. Es sei ${}q\in Q$, ${}q\notin K$, und

$q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der nach Fakt zugehörige Morphismus zu einem Element ${}q\in Q$.

Dann gilt für den zurückgezogenen Divisor

${}q^{*}((0)-(\infty ))=\operatorname {div} {\left(q\right)}\,.$

Beweis

Der Funktionenkörper der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ ist ${}K(t)$ mit ${}t={\frac {Y}{X}}$. Die Erweiterung der Funktionenkörper ist durch

$K(t)\longrightarrow Q(C),\,t\longmapsto q,$

gegeben. Der Hauptdivisor zu ${}t$ auf ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist ${}(0)-(\infty )=(Y)-(X)$, wobei zwei Beschreibungsmöglichkeiten für die Punkte verwendet wurden. Daher folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$

Satz

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich ${}0$.

Beweis

Für ${}q\neq 0$ konstant ist die Aussage klar. Es sei also ${}q$ nicht konstant. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen endlichen Morphismus

$q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

vom Grad ${}n$. Nach Fakt ist

${}\operatorname {div} {\left(q\right)}=q^{*}((0)-(\infty ))=q^{*}(0)-q^{*}(\infty )\,.$

Nach Fakt besitzen die beiden schematheoretischen Fasern beide die ${}K$-Dimension ${}n$ und diese ist die Gesamtmultiplizität der Faser.

$\Box$