Hilbertraum/Untervektorraum/Projektion/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Hilbertraum und sei ${}T\subseteq V$ eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.

Dann enthält ${}T$ einen eindeutigen Punkt ${}P\in T$ , in dem die Norm ${}\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus ${}T$ ) das Minimum annimmt.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Hilbertraum und sei ${}U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}Q\in V$ einen eindeutigen Punkt ${}P\in U$ , für den der Abstand von ${}Q$ zu Punkten aus ${}U$ minimal wird.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Hilbertraum und sei ${}U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem ${}v\in V$ eine eindeutige Darstellung

${}v=u+w\,$

mit ${}u\in U$ und ${}w\in U^{\perp }$ .

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Hilbertraum und sei ${}U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum. Die Abbildung ${}p_{U}\colon V\rightarrow U$ , die jedem Element ${}v\in V$ das ${}u\in U$ aus der nach Fakt eindeutigen Zerlegung ${}v=u+w$ mit ${}u\in U$ und ${}w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf ${}U$ .

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Hilbertraum und sei ${}U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum mit dem orthogonalen Komplement ${}U^{\perp }$ . Dann gelten folgenden Aussagen.

${}U^{\perp }$ ist ebenfalls abgeschlossen.

Es gilt
${}v=p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v)\,.$

${}p_{U}$ ist linear und stetig.

Beweis

Siehe Aufgabe.
Klar.
Eine mehrfache Anwendung von (2) liefert
${}{\begin{aligned}p_{U}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})+p_{U^{\perp }}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})&=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2})\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2}).\end{aligned}}$
Die Linearität folgt durch Vergleich der Summanden in ${}U$ und in ${}U^{\perp }$ . Wegen
${}{\begin{aligned}\Vert {v}\Vert ^{2}&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v),p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v),p_{U}(v)\right\rangle +\left\langle p_{U^{\perp }}(v),p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\Vert {p_{U}(v)}\Vert ^{2}+\Vert {p_{U^{\perp }}(v)}\Vert ^{2}\end{aligned}}$
ist
${}\Vert {p_{U}(v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,,$

woraus die Stetigkeit mit Fakt folgt.

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Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Hilbertraum und sei

\varphi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} }

eine stetige Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor ${}x\in V$ mit

${}\varphi (v)=\left\langle v,x\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ .

Beweis

Bei der Nullabbildung ist ${}x=0$ zu nehmen, sei also ${}\varphi$ nicht die Nullabbildung. Es sei ${}z\in V$ mit ${}\varphi (z)\neq 0$ und sei ${}U=\operatorname {kern} \varphi$ . Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass ${}\varphi (z)$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist ${}U$ ein abgeschlossener Untervektorraum von ${}V$ . Das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ist eindimensional: Zu ${}w,w'\in U^{\perp }$ gibt es ${}a\in {\mathbb {K} }$ mit ${}\varphi (w')=a\varphi (w)$ , daher ist ${}w'-aw\in U$ und wegen der Orthogonalität ist ${}w'-aw=0$ . Wir schreiben

{}z=p_{U}(z)+y\,

mit ${}p_{U}(z)\in U$ und ${}y\in U^{\perp }$ im Sinne von Fakt. Es ist ${}\varphi (z)=\varphi (y)$ . Wir setzen

{}x:={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\,,

dies sichert

{}{\begin{aligned}\left\langle x,x\right\rangle &=\left\langle {\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y,{\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)^{2}}{\Vert {y}\Vert ^{4}}}\left\langle y,y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}\varphi (y)\\&=\varphi (x).\end{aligned}}

Für ${}v\in V$ mit der kanonischen Zerlegung

{}v=u+w\,

ist dann

{}{\begin{aligned}\left\langle v,x\right\rangle &=\left\langle u+w,x\right\rangle \\&=\left\langle w,x\right\rangle \\&=\left\langle ax,x\right\rangle \\&=a\left\langle x,x\right\rangle \\&=a\varphi (x)\\&=\varphi (w)\\&=\varphi (u+w)\\&=\varphi (v).\end{aligned}}

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Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Hilbertraum und ${}T\subseteq V$ eine Teilmenge.

Dann erzeugt ${}T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in ${}V$ , wenn die Eigenschaft

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

für alle ${}w\in T$ nur für ${}v=0$ gilt.

Beweis

Es erzeuge zuerst ${}T$ einen dichten Untervektorraum ${}U$ und sei ${}v\in V$ gegeben mit

{}\left\langle v,w\right\rangle =0\,

für alle ${}w\in T$ . Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle ${}w\in U$ . Wegen der Dichtheit von ${}U$ gibt es eine Folge ${}w_{n}\in U$ , die gegen ${}v$ konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge ${}\left\langle v,w_{n}\right\rangle =0$ gegen ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ . also ist ${}v=0$ .