Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 7

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).

Abgeschlossen bedeutet dabei in der Zariski-Topologie. D.h. es wird verlangt, dass es Polynome ${}F_{1},\ldots ,F_{k}$ in den Variablen ${}X_{ij}$, ${}1\leq i,j\leq n$, gibt derart, dass

${}G:={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid F_{s}(M)=0{\text{ für }}s=1,\ldots ,k\right\}}\,.$

Den Ring ${}K[X_{ij}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ nennt man den Koordinatenring der Gruppe.

Beispiel

Es sei ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Matrix mit der Eigenschaft, dass keine Potenz davon die Einheitsmatrix ist, d.h. die von ${}M$ erzeugte Untergruppe ist ${}\mathbb {Z}$. Das einfachste Beispiel ergibt sich für ${}n=1$ und ein Element ${}a\in {\mathbb {C} }^{\times }$, das keine Einheitswurzel ist. Das ist keine algebraische Gruppe. Ebenso ist ${}\mathbb {Q} ^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ keine algebraische Gruppe.

Die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist eine algebraische Gruppe, sie ist ja durch die polynomiale Bedingung ${}\det M=1$ definiert. Die additive Gruppe

${}G_{a}={\mathbb {A} }_{K}^{1}\,$

ist die affine Gerade zusammen mit der Addition

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto s+t.$

Sie wird als linear-algebraische Gruppe als die Gruppe der Matrizen

${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},\,a\in K$

realisiert, da ja

${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}$

gilt. Die multiplikative Gruppe ${}G_{m}$ ist

$G_{m}\cong (\mathbb {A} _{K}^{1})^{\times }={\left\{t\in \mathbb {A} _{K}^{1}\mid t\neq 0\right\}}$

zusammen mit der Verknüpfung

${\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\right)}^{\times }\times {\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\right)}^{\times }\longrightarrow {\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\right)}^{\times },\,(s,t)\longmapsto st.$

Es ist also ${}G_{m}=\operatorname {GL} _{1}\!{\left(K\right)}$ und damit ist natürlich die multiplikative Gruppe eine algebaische Gruppe (die ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist nach Definition eine abgeschlossene Gruppe. Innerhalb der Menge aller Matrizen ist sie aber offen. Sie lässt sich als Zariski-abgeschlossene Varietät eine Dimension höher auffassen).

Definition

Eine linear-algebraische Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ über einem Körper ${}K$ heißt diagonalisierbar, wenn sie konjugiert zu einer Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen ist.

Es geht bei einer diagonalisierbaren Gruppe also im Wesentlichen um die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen. Diagonalisierbare Gruppen sind insbesondere kommutativ. Die Gruppe aller invertierbaren Diagonalmatrizen ist isomorph zu ${}G_{m}^{n}$, eine solche Gruppe nennt man einen Torus. Der Koordinatenring des Torus ist

${}K[T_{1},\ldots ,T_{n},T_{1}^{-1},\ldots ,T_{n}^{-1}]=K[T_{1},\ldots ,T_{n}]_{T_{1}\cdots T_{n}}\,.$

Diagonalisierbare Gruppen sind also die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen eines Torus. Was gibt es nun für diagonlisierbare Gruppen?

Die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen von ${}G_{m}$ sind einfach zu beschreiben. Es sind dies die ${}G_{m}$ selbst und, sobald eine Gleichung ${}f\neq 0$ darauf verschwindet, bereits eine endliche Gruppe. Eine solche endliche Gruppe ist dann eine Gruppe von Einheitswurzeln ${}\mu _{s}=\operatorname {Spek} {\left(K[T]/(T^{s}-1)\right)}$. Die Gruppe ${}\mathbb {Q} ^{\times }\subset \mathbb {C} ^{\times }$ ist natürlich auch diagonalisierbar, aber nicht abgeschlossen.

Exkurs: Monoidringe und Gruppenringe

Es gibt eine einfache Strukturtheorie für diagonalisierbare Gruppen: Eine solche Gruppe ist isomorph zum Produkt aus einem Torus und einer endlichen abelschen Gruppe. Um dies einzusehen betrachten wir Gruppenringe und deren Spektren.

Definition

Es sei ${}M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ${}K$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring ${}K[M]$ wie folgt konstruiert. Als ${}K$- Modul ist

${}K[M]=\bigoplus _{m\in M}Ke_{m}\,,$

d.h. ${}K[M]$ ist der freie Modul mit Basis ${}e_{m}$, ${}m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

${}e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$

definiert und auf ganz ${}K[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element ${}0\in M$ das neutrale Element ${}1=e_{0}$ der Multiplikation.

Monoidring schreibt man zumeist in der Form ${}K[T^{m},m\in M]$. Die typischen Beispiele sind ${}K[\mathbb {N} ]=K[T]$, der Polynomring in einer Variablen, und ${}K[\mathbb {N} ^{n}]=K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$, der Polynomring in mehreren Variablen. Ferner ist ${}K[\mathbb {Z} ^{n}]$ der Koordinatenring des Torus.

Lemma

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}K$-Algebra und

$\varphi \colon M\longrightarrow B$

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}K$- Algebrahomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon K[M]\longrightarrow B$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&K[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Insbesondere haben wir

${}\operatorname {Hom} _{Mon}^{}{\left(M,(B,\cdot )\right)}=B\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\,,$

und die ${}K$-Punkte von ${}\operatorname {Spek} {\left(K[M]\right)}$ entsprechen den Monoidhomomorphismen von ${}M$ in den Körper ${}K$. Diese Monoidhomomorphismen nennt man auch die Charaktere von ${}M$ in ${}K$. Die Menge der Charaktere von ${}M$ in ${}K$ bezeichnen wir mit ${}M^{\vee }$.

Sei ${}D$ eine (additiv geschriebene) kommutative Gruppe und ${}K$ ein kommutativer Ring. Den Monoidring ${}K[D]$ nennt man auch den Gruppenring zu ${}D$. Für ein Element ${}d\in D$ schreiben wir als Element im Gruppenring ${}T^{d}$. Es gilt dann ${}T^{d}\cdot T^{e}=T^{d+e}$. Das Spektrum ${}G=\operatorname {Spek} {\left(K[D]\right)}$ ist ein Gruppenschema mit der Komultiplikation

$K[D]\longrightarrow K[D]\otimes _{K}K[D]=K[D\times D],\,T^{d}\longmapsto T^{d}\otimes T^{d},$

und der Koinversenabbildung ${}T^{d}\longmapsto T^{-d}$ und dem neutralen Element ${}T^{d}\longmapsto 1$. Gruppenschemata von diesem Typ werden diagonalisierbar genannt. Das ${}K$-Spektrum von ${}K[D]$ ist eine abelsche Gruppe, die aus allen Charakteren von ${}D$ in ${}K$ besteht. Es wird mit ${}D^{\vee }$ bezeichnet. Es ist

${}(\chi _{1}\cdot \chi _{2})(d)=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\,$

in ${}K$. Das neutrale Element ist der konstante (triviale) Charakter ${}\chi \equiv 1$, das Inverse ist durch

${}(\chi ^{-1})(d):=(\chi (d))^{-1}\,$

gegeben. In den einfachsten Fällen ist

${}G_{m}(K)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {Z} ]\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[T,T^{-1}]\right)}=K^{\times }\,$

und

${}\mu _{s}(K)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[T]/(T^{s}-1)\right)}\,.$

Sei ${}D$ eine kommutative, endlich erzeugte, additiv geschriebene Gruppe, also von der Gestalt

${}D=\mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,.$

Die zugehörige Charaktergruppe

${}G:=D^{\vee }={\left\{\chi :D\longrightarrow K^{\times }\mid {\text{ Gruppenmorphismus}}\right\}}\,.$

hat dann die Gestalt

${\left(\mathbb {Z} ^{r}\right)}^{\vee }\times {\left(\mathbb {Z} /(n_{1})\right)}^{\vee }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(n_{s})\right)}^{\vee }.$

Ist ${}K$ algebraisch abgeschlossen und sind die Ordnungen in ${}G$ alle invertierbar in ${}K$, so ist diese Gruppe gleich

${}G={\left(K^{\times }\right)}^{r}\times \langle \xi _{n_{1}}\rangle \times \cdots \times \langle \xi _{n_{s}}\rangle \,,$

wobei ${}\xi _{n_{j}}$ eine primitive ${}n_{j}$-te Einheitswurzel in ${}K$ sei.

Diagonalisierbar Gruppen als ${}K$-Spektrum von Gruppenringen

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$.

Eine linear-algebraische Gruppe ${}G$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie isomorph zum ${}K$-Spektrum eines Gruppenringes, also ${}G\cong \operatorname {Spek} {\left(K[D]\right)}$ ist, wobei ${}D$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist.

Beweis

Zur endlich erzeugten abelschen Gruppe ${}D$ gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow D.$

Dies führt zu einer abgeschlossenen Einbettung der zugehörigen Gruppenschemata

$\operatorname {Spek} {\left(K[D]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[\mathbb {Z} ^{n}]\right)}\cong T,$

die zugleich ein Homomorphismus von affinen Gruppenschemata ist.
Umgekehrt sei eine abgeschlossene Untergruppe ${}G\subseteq T=\operatorname {Spek} {\left(K[\mathbb {Z} ^{n}]\right)}$ gegeben. Die Monome ${}X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},\,\nu \in \mathbb {Z} ^{n}$, sind Charaktere auf dem Torus und damit auch auf ${}G$. Es sei ${}f=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$ ein Polynom, das auf ${}G$ verschwindet. Wir sortieren nach den verschiedenen Charakteren, die sich auf ${}G$ ergeben, und verwenden die Menge

$\Lambda ={\left\{\nu \in \mathbb {Z} ^{n}\mid X^{\nu }{\text{ ist trivial auf }}G\right\}},$

die eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{n}$ ist. Die Menge der Charaktere ${}X^{\mu }$, die auf ${}G$ übereinstimmen, kann man als (${}\mu _{0}$ sei ein Repräsentant für ${}[\mu ]\in \mathbb {Z} ^{n}/\Lambda$)

$X^{\mu _{0}}X^{\lambda },\,\lambda \in \Lambda ,$

schreiben, und man erhält

${}{\begin{aligned}f&=\sum _{X^{\mu }{|}G}{\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }\right)}X^{\mu }\\&=\sum _{X^{\mu }{|}G}{\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }X^{\lambda }\right)}X^{\mu _{0}}.\end{aligned}}$

Hier wird also summiert über (in ${}G$) verschiedene Charaktere. Nach dem Lemma von Dedekind sind Charaktere linear unabhängig, d.h. es folgt

${}\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }X^{\lambda }=0\,$

auf ${}G$ für jedes ${}\mu _{0}$. Wegen ${}1\in G$ ist ${}\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }=0$ und daher folgt aus

$\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }X^{\lambda }=\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda }(X^{\lambda }-1)+\sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\mu _{0}+\lambda },$

dass ${}f$ in dem von

$X^{\lambda }-1,\,X^{\lambda }=1{\text{ auf }}G$

erzeugten Ideal in ${}K[\mathbb {Z} ^{n}]$ liegt. Damit wird das Ideal, das ${}G$ beschreibt, von solchen einfachen Gleichungen erzeugt, und man hat

${}G=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{n},X_{n}^{-1}]/(X^{\lambda }-1:\,\lambda \in \Lambda )\right)}\,.$

Die Untergruppe ${}\Lambda$ definiert die kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow \Lambda \longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow D\longrightarrow 0$

und ${}D$ beschreibt das Gruppenschema ${}G$, d.h. ${}G\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[D]\right)}$. Es ist ja

${}G(K)={\left\{\mathbb {Z} ^{n}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}K^{\times }\mid \psi {|}_{\Lambda }=1_{K}\right\}}\cong \left\{D{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K^{\times }\right\}=D^{\vee }\,.$

$\Box$