Kreisteilungsring/Verzweigung/Zerlegung/Textabschnitt
Es sei der -te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl folgende Aussagen äquivalent.
![{\displaystyle {}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52754c1d1e1b4270ea11442eeed0fdd9160e5cb6)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)[X]/(X^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c01cd376116033adf41ef7f614a026b87df7f72)
Von (1) nach (2). Wenn ein Teiler von ist, so ist eine -te Einheitswurzel auch eine -te Einheitswurzel. Die -ten Einheitswurzeln lassen sich also als eine Potenz einer primitiven -ten Einheitswurzel erhalten und deshalb gilt für die Kreisteilungskörper . Damit ist auch . Nach Fakt in Verbindung mit Fakt und Fakt verzweigt in und damit nach Aufgabe auch in .
Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar aufgrund von Fakt, Aufgabe und Fakt. Von (3) nach (4) ist klar wegen Aufgabe. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar.
Von (4) nach (1). Wenn kein Teiler von ist, so ist eine Einheit in und somit sind und teilerfremd über , was nach Aufgabe die Separabilität bedeutet.
Es sei der -te Kreisteilungsring und es sei eine Primzahl, die kein Teiler von sei. Es sei die multiplikative Ordnung von in .
Dann liegen oberhalb von in genau Primideale, deren Restekörper gleich sind.
Nach Voraussetzung ist kein Teiler von und damit eine Einheit in . Es gibt deshalb eine wohldefinierte Ordnung , also die kleinste positive Zahl mit . Dabei ist ein Teiler von , der Ordnung der Einheitengruppe . Nach Fakt ist der kleinste Erweiterungskörper von , der verschiedene Einheitswurzeln enthält.
Wegen Fakt und Fakt ist lediglich zu zeigen, dass der Restekörper der Primideale oberhalb von ist. Betrachten wir also . Da eine primitive -te Einheitswurzel enthält, gibt es eine surjektive Abbildung
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)[X]/(\Phi _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1514aea953c24945412c84f3ac5dfbf0a7229684)
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{n}-1\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18add1c47540024679062ac24c170112f6cc9ad)
Diese faktorisiert nach Fakt durch
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(q)[X]/(\Phi _{m})\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f734cfdf70c2121b6eb7742ff754f7dec30c50a)
wobei ein Teiler von ist und dann gibt es auch eine Surjektion
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{m}-1\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4b98ff0a830dfc6ee2d8a0bf2395073d63d8d8)
Wenn ein echter Teiler von wäre, so würde sich ein Widerspruch ergeben, da dann das Bild von eine Ordnung hätte.
Die beiden Extremfälle des Zerlegungsverhaltens kann man folgendermaßen herausarbeiten.
Es sei der -te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl folgende Aussagen äquivalent.
- ist ein Teiler von .
- .
- In gibt es -te Einheitswurzeln.
- Das Polynom zerfällt über in verschiedene Linearformen.
- Das Kreisteilungspolynom zerfällt über in verschiedene Linearformen.
- Über liegen Primideale von .
- Das Kreisteilungspolynom hat eine Nullstelle in und ist nicht verzweigt.
Die Äquivalenz von (1) und (2) und die von (3) und (4) ist klar. Die Einheitengruppe von ist nach Fakt zyklisch mit Elementen, das -te Potenzieren wird unter dieser Identifizierung zum -ten Multiplizieren,
Die -ten Einheitswurzeln entsprechen dabei dem Kern dieser Abbildung. Wenn ein Teiler von ist, so sei . In diesem Fall sind die verschiedenen Elemente des Kerns, was die Implikation von (1) nach (3) beweist. Umgekehrt besitzt der Kern wie jede Untergruppe von einen Erzeuger , der ein Teiler von ist. Wenn der Kern aus Elementen besteht, so ist , was die andere Implikation beweist.
Von (4) nach (5) ist klar, da das Kreisteilungspolynom ein Teiler von ist. Die Äquivalenz von (5) und (6) ist auch klar, da der Faserring über ist und da das Kreisteilungspolynom den Grad besitzt. Die Eigenschaft (5) impliziert unmittelbar den ersten Teil von (7). Wäre verzweigt in , so wäre nach Fakt ein Teiler von , sagen wir , und dann wäre
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(\Phi _{n}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c4040eefb2b4cf3af261591fc51b583f08d205)
über . Doch dann hätte das Kreisteilungspolynom mehrfache Nullstellen.
Von (7) nach (3). Zunächst ist nach Fakt kein Teiler von , d.h. ist eine Einheit in . Es sei die (multiplikative) Ordnung von in . Dann gibt es in verschiedene -te Einheitswurzeln. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullstelle des Kreisteilungspolynoms über . Dessen Potenzen durchlaufen in die -ten Einheitswurzeln. Da die Potenzen aber zu gehören, ist .
Es sei der -te Kreisteilungsring und es sei eine Primzahl, die kein Teiler von sei. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Das Element erzeugt die Einheitengruppe von .
- Über liegt ein Primideal in , d.h. ist unzerlegt im Kreisteilungsring.
- Das Kreisteilungspolynom ist irreduzibel über .
Die Eigenschaft (1) bedeutet, dass die Ordnung von in der Einheitengruppe gleich ist. Somit folgt die Äquivalenz von (1) und (2) aus Fakt. Die Äquivalenz zu (3) ist angesichts der Voraussetzung über die Unverzweigtheit und der expliziten Beschreibung der Kreisteilungsringe klar.