Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 14

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${}R_{e}\cong R/(1-e)\,$

gibt.

(Dies zeigt erneut, dass ${}D(e)$ offen und abgeschlossen ist.)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es sei ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt und ${}U={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{P\}$ das offene Komplement davon. Zeige

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=K[X,Y]\,.$

(Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den Riemannschen Hebbarkeitssatz.)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M_{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, seien ${}R$-Moduln mit fixierten ${}R$- Modulhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow M_{i+1}.$

Die Sequenz

$\ldots \longrightarrow M_{i}\longrightarrow M_{i+1}\longrightarrow M_{i+2}\longrightarrow M_{i+3}\longrightarrow \ldots$

heißt exakt, wenn für alle ${}i$ gilt, dass ${}\operatorname {Kern} \,(\varphi _{i})=\operatorname {Bild} \,(\varphi _{i-1})$ ist.

1. Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition 10.2 in der Vorlesung übereinstimmt.
2. Es sei nun ${}R=K$ ein Körper, die ${}M_{i}$ seien endlich erzeugt, ${}M_{0}=0$ und alle ${}M_{i}=0$ für ${}i\geq n$ für ein gewisses ${}n$. Zeige, dass

   ${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {dim} _{K}M_{i}=0\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. R ist reduziert.
2. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}R_{\mathfrak {p}}$ reduziert.
3. Für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist ${}R_{\mathfrak {m}}$ reduziert.

Bemerkung: Man sagt dann auch, dass Reduziertheit eine lokale Eigenschaft ist.

Geben sie ein Beispiel für einen kommutativen Ring, der nicht integer ist, dessen Lokalisierungen an Primidealen aber alle integer sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine endlichdimensionale, reduzierte ${}K$-Algebra. Zeige, dass dann ${}A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ${}K$ ist.

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass es in ${}A$ nur endlich viele Primideale gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe die Menge ${}M$ aller ${}2\times 3$-Matrizen mit Rang ${}\leq 1$ über einem Körper ${}K$ als ${}K$-Spektrum einer geeigneten ${}K$-Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von ${}M$ und einer offenen Menge des ${}\mathbb {A} _{K}^{4}$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$. Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar

${}C=V(X^{2}+Y^{2}-1)\cap V((X-3)^{2}+Y^{2}+Z^{2}-7)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,.$

Zeige, dass man den Koordinatenring von ${}C$ als Restklassenring eines Polynomrings in zwei Variablen schreiben kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte das Ideal

${}{\mathfrak {a}}={\left(U^{5}-V^{3},U^{11}-W^{3},V^{11}-W^{5}\right)}\subseteq K[U,V,W]\,$

und das zugehörige Nullstellengebilde ${}Z=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Zeige, dass ${}W-U^{2}V$ zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$ gehört. Zeige damit, dass ${}Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primidealen ist, die es umfassen.

In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.

Ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring heißt minimales Primideal, wenn es kein Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ mit ${}{\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {p}}$ gibt.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System ${}F\subseteq R$ nennt man einen Ultrafilter, wenn ${}0\not \in F$ ist und wenn ${}F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ ein multiplikatives System mit ${}0\not \in S$. Zeige, dass ${}S$ in einem Ultrafilter enthalten ist.

(Man benutze das Lemma von Zorn.)

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}F\subseteq R$ ein multiplikatives System mit ${}0\notin F$. Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\notin F$, ein ${}f\in F$ und eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}fg^{n}=0$ gibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}F\subset R$ ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ${}F$ ein minimales Primideal in ${}R$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer, reduzierter Ring. Zeige, dass jeder Nullteiler in einem minimalen Primideal enthalten ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die minimalen Primideale von ${}R$ den irreduziblen Komponenten von ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ entsprechen.