Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 23

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}N$ ein ${}R$- Modul mit ${}R$- Untermoduln ${}L\subseteq M\subseteq N$. Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

miteinander in Beziehung stehen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}P=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring darüber in ${}m$ Variablen. Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{m})$ das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {m}}^{n}=P_{\geq n}$ ist, wobei ${}P_{\geq n}$ das Ideal in ${}P$ bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad ${}\geq n$ erzeugt wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$. Es sei ${}S=R/{\mathfrak {b}}$ und ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {a}}S$ das Bildideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}^{n}S={\tilde {\mathfrak {a}}}^{n}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne für das durch die Erzeuger ${}4$ und ${}9$ gegebene Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$ die in den Abschätzungen von Lemma 23.6 auftretenden Ausdrücke bis ${}n\leq 6$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne für das durch die Erzeuger ${}5,8,11$ gegebene Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$ die in den Abschätzungen von Lemma 23.6 auftretenden Ausdrücke bis ${}n\leq 5$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen ${}f,g\in R$ gelte, dass ${}f$ ein Teiler von ${}g$ ist oder dass ${}g$ ein Teiler von ${}f$ ist. Es sei ${}R$ noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass ${}R$ ein diskreter Bewertungsring ist.

In den folgenden Aufgaben wird die Krull-Dimension eines kommutativen Ringes verwendet. Da wir uns hauptsächlich für Kurven interessieren, denen eindimensionale Ringe entsprechen, werden wir keine systematische Dimensionstheorie entwickeln.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

nennt man Primidealkette der Länge ${}n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ${}R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von ${}R$ gleich eins ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R=K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass ${}R$ die Krulldimension zwei besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}R$ hat Krulldimension ${}0$.
2. ${}R$ ist ein artinscher Ring.
3. ${}R$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}{\mathfrak {m}}^{n}=0$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.
5. Die Reduktion von ${}R$ ist ein Produkt von Körpern.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension ${}d$. Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings ${}R[X]$ mindestens ${}d+1$ ist.

(Bemerkung: über einem noetherschen Grundring erhöht sich die Dimension beim Übergang zum Polynomring genau um eins, dies ist aber schwieriger zu beweisen.)