Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 17

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Betrachte den Monoidhomomorphismus

$\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,e_{1}\longmapsto 1,\,e_{2}\longmapsto -1.$

Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper ${}K$) und den zugehörigen ${}K$-Spektren.

Aufgabe

Es seien ${}M\subseteq N$ kommutative Monoide. Zeige, dass durch

${}{\tilde {M}}={\left\{n\in N\mid {\text{es gibt }}k\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}kn\in M\right\}}\,$

ein Untermonoid von ${}N$ gegeben ist, das ${}M$ umfasst.

Aufgabe

Wir betrachten die kommutativen Monoide ${}M=\mathbb {N} ^{r}$ und ${}N={\mathbb {N} }^{s}$. Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von ${}M$ nach ${}N$ eindeutig durch eine Matrix (mit ${}r$ Spalten und ${}s$ Zeilen) mit Einträgen aus ${}\mathbb {N}$ bestimmt ist.

Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$ eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon \Gamma \longrightarrow G,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}M$ ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
2. Die kanonische Abbildung ${}M\rightarrow \Gamma (M)$ ist injektiv.
3. ${}M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[\mathbb {Z} ^{n}]\cong R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,$

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

Aufgabe

Es seien ${}M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den ${}K$-Spektren ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)$ und ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(N,K)$. Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus ${}\varphi :M\rightarrow N$ die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Ein Filter ${}F$ in einem kommutativen Monoid ${}M$ ist ein Untermonoid, das zusätzlich teilerstabil ist. D.h. falls ${}f\in F$ ist und ${}g|f$ gilt, so ist auch ${}g\in F$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass es in ${}M$ einen kleinsten Filter gibt und dass dieser eine Gruppe bildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien ${}M\subseteq N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit Kürzungsregel. Zeige, dass für einen Körper ${}K$ der Ringhomomorphismus ${}K[M]\subseteq K[N]$ genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ${}n\in N$ ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}kn\in M$ gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M=(\mathbb {Q} ,+)$ die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme ${}\mathbb {Q} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\mathbb {Q} [M]\right)}$. Wie sieht es aus, wenn man ${}\mathbb {Q}$ durch ${}\mathbb {R}$ ersetzt?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus ${}K-\operatorname {Spec} \,K[N]$, die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt ${}1\in K-\operatorname {Spek} \,(K[M])$  (das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung ${}M\mapsto 1$ entspricht) abgebildet werden, selbst die Struktur eines ${}K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten Monoide der Form ${}M=(\mathbb {Z} /(m),+)$. Beschreibe ${}K-\operatorname {Spek} \,(K[M])$ allgemein sowie für die Körper ${}K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(5)$. Finde die idempotenten Elemente von ${}\mathbb {C} [\mathbb {Z} /(3)]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten.

1. Filter in ${}M$.
2. ${}\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,(\{0,1\},1,\cdot ))$.
3. ${}{\mathbb {F} }_{2}-\operatorname {Spek} \,(M)$
4. ${}{\left\{\varphi \in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\mid \varphi (M)\subseteq \{0,1\}\right\}}$. (Dabei ist ${}K$ ein Körper.)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring ${}K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter ${}M$ ein ${}K[G]$-Modul. Zeige, dass

1. ${}M$ nichts anderes ist als ein ${}K$-Vektorraum ${}V$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus ${}\rho \colon G\rightarrow \operatorname {Aut} _{K}(V)$.
2. ein ${}K[G]$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine ${}K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich ${}\varphi \circ \rho (g)=\rho \circ \varphi$ für alle ${}g\in G$ gilt.

Bemerkung: ${}\rho$ heißt dann eine Darstellung von ${}G$. Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als ${}G$ und man kann mit Hilfe von ${}\rho$ oft hilfreiche Erkenntnisse über ${}G$ selbst gewinnen.