Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 23
- Aufgaben
Aufgabe
Wo wird im Beweis zu Lemma 23.1 verwendet, dass ist. Welche der angeführten Eigenschaften gelten bei , welche nicht? Wie sieht es bei und aus?
Aufgabe
Interpretiere Satz 23.2 im Fall , also im Fall der Eisenstein-Zahlen . Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.29.
Aufgabe
Interpretiere Satz 23.2 im Fall , also im Fall der Gaußschen Zahlen . Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.26.
Aufgabe
Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring für die Primzahlen .
Aufgabe
Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring für die Primzahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} q = 2,3,5,7,11,13,17,19} .
Aufgabe
Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring für die Primzahlen .
Aufgabe
Es sei eine Primzahl und sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} R_p} der -te Kreisteilungsring. Bestimme die Zerlegungsgruppe und die Trägheitsgruppe zu einem Primideal über .
Aufgabe
Es sei der -te Kreisteilungsring und sei eine Primzahl, die nicht teile. Es sei die multiplikative Ordnung von in der Einheitengruppe . Zeige, dass genau dann die Norm eines Ideals von ist, wenn ein Vielfaches von ist.
Aufgabe
Untersuche Korollar 23.3 für den Fall , insbesondere bei und .
Aufgabe
Zeige, dass Korollar 23.3 (7) ohne die Bedingung der Unverzweigtheit nicht zu den anderen Eigenschaften der Aussage äquivalent ist.
Zur folgenden Aufgabe vergleiche
Aufgabe 21.3.
Aufgabe
Es sei eine Primzahl und
der -te Kreisteilungsring. Es sei
eine Untergruppe der Galoisgruppe, und es seien
die Nebenklassen zu . Zeige, dass der Invariantenring die Ganzheitsbasis
zu besitzt.
Aufgabe
Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für .
Aufgabe *
Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für .
Aufgabe
Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für .
Aufgabe *
Es sei der durch erzeugte Unterring des fünften Kreisteilungsringes, wobei die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.
- Bestimme eine Gleichung für über .
- Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf induziert.
- Bestimme .
Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit
Aufgabe 22.24
eine natürliche Erklärung für das in
Aufgabe 22.20
beobachtete Verhalten.
Aufgabe *
Wir betrachten die Körperkette
und die zugehörige Kette von Zahlbereichen
Wenn eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei
vergleiche Aufgabe 22.23. Zeige, dass für jede Primzahl in eine der Beziehung
gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von modulo abhängt, welche der drei Fälle gilt.
Aufgabe *
Zeige, dass im sechsten Kreisteilungsring weder noch enthalten ist.
Aufgabe
Es sei eine ungerade Primzahl und
die (erste) quadratische Gaußsumme. Es sei ein Automorphismus des -ten Kreisteilungsringes. Zeige genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen
durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.
Aufgabe *
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
Aufgabe *
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
Bemerkung: und sind Primzahlen.
Aufgabe *
Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
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