Kurs:Analysis/Teil I/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	4	4	7	2	4	5	7	2	3	4	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

3. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
4. Die komplexe Exponentialfunktion.
5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.

Lösung

1. Man nennt die Menge

   ${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

   die Produktmenge der Mengen ${}L$ und ${}M$.

2. Die Abbildung

   $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

   heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

3. Eine reelle Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
4. Die Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

   heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

5. Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
6. Man nennt die Gleichung

   $y'=f(t,y)$

   gewöhnliche Differentialgleichung zu ${}f$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$.
2. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Lösung

1. Für ${}a,b$ in einem Körper ${}K$ gilt

   ${}(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$

2. Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

   $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   übereinstimmen. Dann ist ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Es sei

   $g\colon [a,b]\longrightarrow I$

   stetig differenzierbar. Dann gilt

   ${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von ${}-{\frac {133}{3}}$.

Lösung

Es ist

$-44=-{\frac {132}{3}}$

und

$-45=-{\frac {135}{3}},$

daher ist

${}-45\leq -{\frac {133}{3}}<-44\,,$

also ist

${}\left\lfloor -{\frac {133}{3}}\right\rfloor =-45\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für ${}n\geq 1$ die Formel

${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Lösung

Bei ${}n=1$ besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden ${}(-1)^{1}1=-1$, die Summe ist also ${}-1$. Da ${}1$ ungerade ist, steht rechts ${}-{\frac {2}{2}}=-1$, der Induktionsanfang ist also gesichert.

Es sei die Aussage nun für ${}n$ bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für ${}n+1$ zu zeigen. Die Summe links ist

${}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k}k={\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k\right)}+(-1)^{n+1}(n+1)\,.$

Bei ${}n$ gerade (also $n+1$ ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

${}{\frac {n}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)={\frac {n}{2}}-(n+1)={\frac {n-2n-2}{2}}={\frac {-n-2}{2}}=-{\frac {n+2}{2}}\,,$

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ${}n$ ungerade (also $n+1$ gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

${}-{\frac {n+1}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)=-{\frac {n+1}{2}}+(n+1)={\frac {-n-1+2n+2}{2}}={\frac {n+1}{2}}\,,$

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Folge ${}x_{n}=(-1)^{n}$ und ${}x=-1$. Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?

Lösung

Richtig sind (4), (5), (6), (7).

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen

${}1{,}8\leq 2^{\frac {9}{10}}\leq 1{,}9\,.$

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

${}1{,}8^{10}\leq 2^{9}=512\leq 1{,}9^{10}\,.$

nach. Diese gelten wegen

${}{\begin{aligned}1{,}8^{10}&=3{,}24^{5}\\&=(3{,}24^{2})^{2}\cdot 3{,}24\\&=10{,}4976^{2}\cdot 3{,}24\\&\leq 121\cdot 4\\&=484\\&<512\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}1{,}9^{10}&=3{,}61^{5}\\&=(3{,}61^{2})^{2}\cdot 3{,}61\\&=13{,}0321^{2}\cdot 3{,}61\\&>169\cdot 3{,}6\\&=608{,}4\\&>512.\end{aligned}}$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$, zu einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Korollar 13.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Die Funktion ${}f$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

$f\colon I\longrightarrow J$

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei ${}g:=f^{-1}$ und ${}y:=f(x)$ vorgegeben. Es sei zunächst ${}y$ kein Randpunkt von ${}J$. Dann ist auch ${}x$ kein Randpunkt von ${}I$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben und ohne Einschränkung ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I$ angenommen. Dann ist

${}\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,$

und für ${}y'\in [y-\delta ,y+\delta ]$ gilt wegen der Monotonie

${}g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.$

Also ist ${}g$ stetig in ${}y$. Wenn ${}y$ ein Randpunkt von ${}J$ ist, so ist auch ${}x$ ein Randpunkt von ${}I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem ${}\epsilon >0$ wieder ${}[x-\epsilon ,x]\subseteq I$ und ${}\delta :=y-f(x-\epsilon )$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)\neq 0$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

${}{\left(f\circ f^{-1}\right)}(y)=y\,.$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

${}f'{\left(f^{-1}(y)\right)}{\left(f^{-1}\right)}'(y)=1\,.$

Also ist

${}{\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\,.$

Lösung

Die Kettenregel setzt voraus, dass beide Abbildungen differenzierbar sind, das weiß man hier aber von ${}f^{-1}$ nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f'(x)=\lambda f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ die Funktionalgleichung

$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt.

Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion ${}g(x)=\ln f(x)$, die wohldefiniert ist, da ${}f$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion ${}g$ ist differenzierbar mit

${}g'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {\lambda f(x)}{f(x)}}=\lambda \,.$

Die Ableitung ist also konstant gleich ${}\lambda$, daher ist ${}g(x)=\lambda x+c$. Somit ist

${}f(x)=\exp \left(\ln f(x)\right)=\exp \left(\lambda x+c\right)=\exp \left(\lambda x\right)\exp c\,$

und wegen ${}f(0)=1$ ist ${}c=0$. Daher ist

${}f(x+y)=\exp \left({\lambda (x+y)}\right)=\exp \left({\lambda x+\lambda y}\right)=\exp \left({\lambda x}\right)\cdot \exp \left({\lambda y}\right)=f(x)\cdot f(y)\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.$

Zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ betrachten wir die reelle Folge

$x_{n}=f^{n}(x_{0}),$

es gilt also die rekursive Beziehung ${}x_{n+1}=f(x_{n})$. Zeige, dass die Folge für ${}x_{0}\in [-2,1]$ einen Häufungspunkt besitzt.

Lösung

Es ist

${}f(-2)=(-2)^{2}-2-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,$

und

${}f(1)=1^{2}+1-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,.$

Die Ableitung der Funktion ist

${}f'(x)=2x+1\,,$

daher wird das Minimum bei

${}x=-{\frac {1}{2}}\,$

mit dem Wert

${}f{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}-{\frac {7}{4}}=-2\,$

angenommen. Daher ist

$f([-2,1])\subseteq [-2,{\frac {1}{4}}]\subseteq [-2,1].$

Bei ${}x_{0}\in [-2,1]$ sind demnach alle Folgenglieder ${}x_{n}\in [-2,1]$. Nach dem

Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise die Charakterisierung mit Ableitungen von konvexen Funktionen ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$.

Lösung

Es sei zunächst ${}f$ konvex und seien zwei Punkte ${}a<b$ aus ${}I$ gegeben. Es sei ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ die lineare Funktion, die ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ verbindet. Aufgrund der Konvexität ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in [a,b]$. Für die Differenzenquotienten gilt daher

${}{\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&\leq {\frac {g(x)-f(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\\&={\frac {g(b)-g(x)}{b-x}}\\&={\frac {f(b)-g(x)}{b-x}}\\&\leq {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}.\end{aligned}}$

Durch Übergang zu den Limiten für ${}x\rightarrow a$ bzw. ${}x\rightarrow b$ folgt

${}f'(a)\leq {\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\leq f'(b)\,.$

Es sei nun ${}f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte ${}a<b$ aus ${}I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ nicht vollständig oberhalb des Graphen von ${}f$ verläuft. Es gibt also ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}g(c)<f(c)$, wobei wieder ${}g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu ${}f-g$ können wir ${}f(a)=f(b)=0$ und ${}f(c)>0$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte ${}s\in [a,c]$ und ${}t\in [c,b]$ mit ${}f'(s)>0$ und ${}f'(t)<0$, sodass ${}f'$ nicht wachsend ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin ^{2}\left(\cos x\right).$

Lösung

Die Ableitung von ${}\sin ^{2}\left(\cos x\right)$ ist

$-2\sin \left(\cos x\right){\left(\cos \left(\cos x\right)\right)}\sin x.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

${}f(x)=\sin x\,$

im Entwicklungspunkt ${}\pi /2$.

Lösung

Wir müssen das Polynom

$\sum _{k=0}^{4}{\frac {f^{(k)}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}{k!}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{k}$

berechnen. Es ist

${}f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,,$

${}f^{\prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,,$

${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1\,,$

${}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,$

und

${}f^{\prime \prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,.$

Daher ist das vierte Taylor-Polynom gleich

$1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}+{\frac {1}{24}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{4}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Lösung

Wegen der Stetigkeit von ${}f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von ${}g$ existieren beide Integrale. Es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$, die aufgrund von Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

${}t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)\,$

die Ableitung ${}F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$. Daher gilt insgesamt

${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${}[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

$f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Lösung

Es sei ${}a\in [6,21]$ der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde ${}[a,a+1]$ ist das bestimmte Integral

${}{\begin{aligned}S(a)&=\int _{a}^{a+1}(-t^{3}+27t^{2}-120t)\,dt\\&={\left(-{\frac {1}{4}}t^{4}+9t^{3}-60t^{2}\right)}|_{a}^{a+1}\\&={\left(-{\frac {1}{4}}(a+1)^{4}+9(a+1)^{3}-60(a+1)^{2}\right)}-{\left(-{\frac {1}{4}}a^{4}+9a^{3}-60a^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{4}}(4a^{3}+6a^{2}+4a+1)+9(3a^{2}+3a+1)-60(2a+1)\\&=-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}.\,\end{aligned}}$

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall ${}[6,21]$ bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist

${}S'(a)={\left(-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}\right)}^{\prime }=-3a^{2}+51a-94\,.$

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf ${}a^{2}-17a+{\frac {94}{3}}=0$ bzw. auf

${}{\left(a-{\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\left({\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\frac {289}{4}}={\frac {-376+867}{12}}={\frac {491}{12}}\,.$

Also ist

${}a_{0}={\sqrt {\frac {491}{12}}}+{\frac {17}{2}}\cong 14,8966\cong 14{\text{ Uhr }}54\,$

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem ${}a$ außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung

$S^{\prime \prime }(a)=-6a+51$

ist an der Stelle ${}a_{0}$ negativ, sodass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${}y>0$)

$y'=t^{2}y^{3}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Lösung

Wir schreiben ${}g(t)=t^{2}$ und ${}h(y)=y^{3}$. Eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{h(y)}}={\frac {1}{y^{3}}}$ ist ${}H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z$ (${}z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

${}y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}\,.$

Die Stammfunktionen zu

${}g(t)=t^{2}\,$

sind ${}{\frac {1}{3}}t^{3}+c$ mit ${}c\in \mathbb {R}$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

${}y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{2{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}}}}={\sqrt {\frac {-1}{{\frac {2}{3}}t^{3}+2c}}}\,.$

Bei gegebenem ${}c$ ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn

${}{\frac {2}{3}}t^{3}+2c<0\,$

ist. Dies bedeutet

${}t<{\sqrt[{3}]{-3c}}\,.$

Die Definitionsbereiche sind also

$]-\infty ,{\sqrt[{3}]{-3c}}[.$

Anhang

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$.

1. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,.$

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon \geq 0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ und jedes ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und jedem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq n_{0}$, derart, dass die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

6. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, derart, dass für alle ${}n\in \mathbb {N}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

7. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

8. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}x_{n}-x\leq \epsilon \,$

   gilt.