Kurs:Analysis/Teil I/22/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	4	4	3	4	3	5	3	2	5	7	4	3	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Ein Element ${}T\in M$ mit ${}x\leq T$ für alle ${}x\in M$ heißt Maximum von ${}M$.
2. Die Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung

   ${}\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt. Dabei ist ${}a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.

3. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

   $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

   existiert.

4. Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ von ${}z\in {\mathbb {C} }$ wird durch

   $b^{z}:=\exp(z\ln b)$

   definiert.

5. Man nennt die Menge ${}S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}$ den Subgraphen der Funktion.
6. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu ${}f$ über ${}[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Für ${}x\geq -1$ und ${}n\in \mathbb {N}$ ist

   ${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$

2. Die Potenzreihe ${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ sei für eine komplexe Zahl ${}z=b$, ${}b\neq a$, konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius ${}r$ mit ${}0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
3. Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$. Dann ist

   ${}G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$

   eine Stammfunktion der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?

Lösung

1. Induktionsbeweis.
2. Beweis durch Widerspruch.
3. Beweis durch Fallunterscheidung.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst ${}16$ Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) ${}5$ Stunden nach vorne, dann ${}26$ Stunden zurück, dann ${}4$ Stunden zurück, dann ${}8$ Stunden nach vorne und dann ${}12$ Stunden zurück.

1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?

Lösung

1. Wir rechnen

   ${}16+5+(-26)+(-4)+8-12=-13\,,$

   also ${}13$ Stunden zurück.

2. Insgesamt reist sie

   ${}16+5+26+4+8+12=71\,$

   Stunden, das verbraucht also ${}71$ Minuten, also eine Stunde und elf Minuten. Daher befindet sie sich am Ende der Zeitreise im Zeitpunkt vor ${}11$ Stunden und ${}49$ Minuten.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Für eine Klausur verteilt Professor Knopfloch Nummern ${}n$ von ${}1$ bis ${}150$ an die Studenten. Diese sollen sich gemäß ihrer Nummer ${}n$ vor der Halle ungefähr mit einem Abstand (in Meter)

${}a(n)=5+4\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$

zum Eingang aufstellen, wobei der zur Verfügung stehende Platz in etwa ein Viertelkreissektor mit dem Eingang als Mittelpunkt ist.

1. Ist die Abbildung

   $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \mathbb {N}$

   injektiv?

2. Ist die Abbildung

   $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \{1,\ldots ,53\}$

   surjektiv?

3. Wie viele Leute sollen einen Abstand von ${}49$ Meter zum Eingang einnehmen?
4. Welche Vorteile (Nachteile) hat die gewählte Abstandsfunktion gegenüber der Funktion

   ${}b(n)=5+4n\,.$

Lösung

1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da ${}1$ und ${}2$ beide auf ${}9$ abgebildet werden.
2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da ${}1$ nicht im Bild liegt.
3. Für genau die Zahlen

   ${}n=121,\ldots ,143\,$

   ist

   ${}11\leq {\sqrt {n}}<12\,,$

   für diese ist also

   ${}\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor =11\,$

   und daher

   ${}a(n)=49\,.$

   Den Abstand ${}49$ sollen also ${}23$ Leute einnehmen.

4. Der zur Verfügung stehende Raum wird einigermaßen gleichmäßig ausgenutzt, wobei die Leute einen hinreichenden Abstand zueinander haben können; der Radius und damit die Bogenlänge des Viertelkreises ist ungefähr proportional zur Anzahl der Leute, die darauf Platz nehmen sollen (auf dem Viertelkreis mit Radius ${}5+4k$ und Bogenlänge ca. ${}7,5+6k$ stehen ${}2k+1$ Personen). Bei der Funktion

   ${}b(n)=5+4n\,$

   ergibt sich eine lineare sehr lange Schlange.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte ${}x,y$, ${}x\neq y$, gibt. Dann ist ${}d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten ${}\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$

und wegen der Konvergenz gegen ${}y$ gibt es ein ${}n_{0}'$ mit

$\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für ${}n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei ${}n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

${}d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}=-x_{n}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Lösung

Bei ${}x_{0}=0$ ist die Folge konstant gleich ${}0$. Diese Folge konvergiert gegen ${}0$. Für jeden anderen Startwert ${}x_{0}\neq 0$ konvergiert die Folge nicht. Wegen

${}-{\left(-x\right)}=x\,$

wechseln sich in der Folge ${}x_{0}$ und ${}-x_{0}$ ab, sodass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

${}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

wachsend ist.

Lösung

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

${}{\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.$

Dies schreiben wir als

${}{\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.$

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${}{\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}$ (es sei ${}n\geq 2$.) die Abschätzung

${}a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$.
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$.
3. ${}1(a)=1$.

Lösung

Es seien ${}P=\sum _{i}a_{i}X^{i}$ und ${}Q=\sum _{j}b_{j}X^{j}$.

1. Es ist

   ${}P+Q=\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}X^{i}\,$

   und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für ${}K$

   ${}{\begin{aligned}(P+Q)(z)&={\left(\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}X^{i}\right)}(z)\\&=\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}z^{i}\\&=\sum _{i}a_{i}z^{i}+\sum _{i}b_{i}z^{i}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}(z)+{\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)}(z)\\&=P(z)+Q(z).\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}P\cdot Q=\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}X^{k}\,$

   und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für ${}K$

   ${}{\begin{aligned}(P\cdot Q)(z)&={\left(\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}X^{k}\right)}(z)\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}z^{k}\\&=\sum _{i,j}a_{i}\cdot b_{j}z^{i+j}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}z^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j}b_{j}z^{j}\right)}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}(z)\cdot {\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}(z)\\&=P(z)\cdot Q(z).\end{aligned}}$

3. Für jedes konstante Polynom ${}a_{0}$ gilt ${}a_{0}(z)=a_{0}$, da nicht eingesetzt werden kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,$

ein normiertes Polynom über einem Körper ${}K$. Es seien ${}u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${}K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${}P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

erfüllen.

Lösung

Nach Lemma 11.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist eine Zahl ${}u\in K$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}X-u$ ein Linearfaktor von ${}P$ ist. Da ${}u,v,w$ verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von ${}P$ genau dann, wenn

${}P=(X-u)(X-v)(X-w)\,$

ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man

${}(X-u)(X-v)(X-w)=X^{3}-(u+v+w)X^{2}+(uv+uw+vw)X-uvw\,.$

Dies stimmt mit ${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d$ genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Lösung

Für die ${}2^{n}$ Zahlen ${}k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist

${}\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$

Daher ist

${}\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nicht konvergent sein.

Aufgabe (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

gilt ${}f(-1)=-1$ und ${}f(1)=1$. Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}1$ geben, also eine Zahl ${}x\in [-1,1]$ mit ${}f(x)=0$. Es ist doch aber stets ${}{\frac {1}{x}}\neq 0$.“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Lösung

Die Funktion ist im Nullpunkt ${}0$ nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Lösung

Die Aussage

${}g(a)\neq g(b)\,$

folgt aus Satz 19.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Wir betrachten die Hilfsfunktion

${}h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}h(a)&=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(a)\\&={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}\\&=f(b)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(b)\\&=h(b).\end{aligned}}$

Also ist ${}h(a)=h(b)$ und Satz 19.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) liefert die Existenz eines ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}h'(c)=0\,.$

Umstellen ergibt die Behauptung.

Aufgabe (7 (1+1+5) Punkte)

1. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in keinem Punkt schneidet.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in genau einem Punkt schneidet.
3. Zeige, dass jede Gerade den Graphen der Exponentialfunktion in höchstens zwei Punkten schneidet.

Lösung

1. Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, schneidet ihr Graph die ${}x$-Achse nicht.
2. Der Graph der Exponentialfunktion schneidet (wie jeder Graph) die ${}y$-Achse in genau einem Punkt.
3. Wenn die Gerade parallel zur ${}y$-Achse ist, so gibt es nur einen Schnittpunkt. Es sei also die Gerade der Graph einer affin-linearen Funktion ${}y=g(x)=ax+b$. Wir betrachten

   ${}f(x)=e^{x}-g(x)=e^{x}-ax-b\,,$

   die Schnittpunkte der Graphen von ${}g$ und ${}e^{x}$ sind die Nullstellen von ${}f(x)$. Wir behaupten also, dass ${}f$ höchstens zwei Nullstellen besitzt. Es ist

   ${}f'(x)=e^{x}-a\,$

   und dies hat (wegen der strengen Monotonie von ${}e^{x}$) höchstens eine Nullstelle. Betrachten wir zuerst den Fall, dass ${}f'$ eine Nullstelle ${}c$ besitzt. Unterhalb dieser Nullstelle ist ${}f'(x)$ negativ und oberhalb davon positiv. D.h. nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), dass ${}f$ unterhalb von ${}c$ streng fallend und oberhalb von ${}c$ streng wachsend ist. Daher gibt es in diesen beiden Bereichen jeweils höchstens eine Nullstelle. Wenn ${}f'$ keine Nullstelle besitzt, so ist ${}f'$ überall positiv und daher ist ${}f$ streng wachsend und besitzt höchstens eine Nullstelle.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe differenzierbare Funktion. Zeige, dass in jedem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ die Tangente an den Graphen in ${}(a,f(a))$ mit dem Graphen oberhalb eines (eventuell einpunktigen) Intervalles übereinstimmt.

Lösung

Nach Satz 20.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist ${}f'$ wachsend. Es sei

${}s=f'(a)\,$

und es sei

${}I={\left\{x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=s\right\}}\,.$

Dies ist ein (offenes oder abgeschlossenes, beschränktes oder unbeschränktes, einpunktiges oder mehrpunktiges) Intervall. Auf diesem Intervall besitzt ${}f$ die konstante Steigung ${}s$. Auf dem Abschluss dieses Intervalles stimmt ${}f$ mit der Tangente überein. Es ist zu zeigen, dass diese Tangente den Graphen in keinem weiteren Punkt schneidet. Nehmen wir an, dass es ein ${}b$ außerhalb des Abschlusses dieses Intervalls gibt, sagen wir oberhalb der oberen Grenze ${}d$ des Intervalls. Dann können wir den Mittelwertsatz auf das Intervall ${}[d,b]$ anwenden und erhalten ein ${}c\in ]d,b[$ mit ${}f'(c)=s$, also einen Widerspruch.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

$\cos \left(\cos \left(\sin x\right)\right)\cdot \sin \left(\sin x\right)\cdot \cos x.$

Lösung

Die Funktion hat die Gestalt

$-f(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x),$

deshalb ist nach der Kettenregel (für drei Funktionen) ${}-F(g(h(x)))$ eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$ bezeichnet. Also ist

$-\sin \left(\cos \left(\sin x\right)\right)$

eine Stammfunktion.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.

Lösung

Zunächst gibt es eine Stammfunktion ${}G$ von ${}g$ aufgrund von Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), sodass die angegebenen Funktionen existieren.
Durch Ableiten bestätigt man direkt, dass diese Funktionen wirklich Lösungen sind.
Es sei ${}y$ eine beliebige Lösungsfunktion. Wir betrachten den Quotienten

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {y(t)}{\exp(G(t))}}\right)}'&={\frac {y'(t)\exp \left(G(t)\right)-y(t)\cdot {\left(\exp(G(t))\cdot g(t)\right)}}{\exp ^{2}(G(t))}}\\&={\frac {y(t)g(t)\exp \left(G(t)\right)-y(t)\cdot {\left(\exp(G(t))\cdot g(t)\right)}}{\exp ^{2}(G(t))}}\\&=0,\end{aligned}}$

sodass aufgrund von Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) der Quotient ${}{\frac {y(t)}{\exp(G(t))}}$ konstant sein muss, woraus die Behauptung folgt.
Die Bedingung ${}y(t_{0})=y_{0}$ legt den Skalar ${}c={\frac {y_{0}}{\exp(G(t_{0}))}}$ eindeutig fest.