Kurs:Analysis/Teil II/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	4	7	2	6	4	4	7	5	9	9	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes ${}M$.
3. Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${}{\mathbb {C} }$).
4. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
5. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

6. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

   $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

   wobei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Eigenschaften des Abstandes auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt.
2. Der Satz von Schwarz.
3. Der Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge

   $f_{n}\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen

   ${}L$ und ${}M$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abzählbare Teilmenge (${}n\geq 1$). Es sei ${}d$ eine Metrik auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ derart, dass ${}d(x,y)$ für ${}x\not \in T$ und ${}y\in \mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik übereinstimmt. Zeige, dass ${}d$ auf ganz ${}\mathbb {R} ^{n}$ die euklidische Metrik ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon L\rightarrow M$ zwischen metrischen Räumen in einem Punkt ${}x\in L$.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right).$

b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right).$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto e^{t}x{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$

mit ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

direkt, dass

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,$

gilt.

Aufgabe (7 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung ${}v=(a,b)$ mit ${}a,b\neq 0$ existiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Offenheit der positiven Definitheit der Hesse-Form.

Aufgabe * (9 (2+2+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}+y^{2}+z^{2},\,2x+3y+4z\right).$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$. Zeige, dass ${}P=(1,-2,1)$ regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt ${}P=(1,-2,1)$ den Tangentialraum an die Faser ${}F$ von ${}\varphi$ durch ${}P$.

c) Man gebe für ${}P=(1,-2,1)$ einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von ${}P$ in der Faser ${}F$ durch ${}P$ an.

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

$F\colon V\longrightarrow V$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung

$\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),$

mit

${}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.$

Man erhält also aus der Funktion ${}g$ die neue Funktion ${}\delta (g)$, indem man an einem Punkt ${}P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion ${}g$ in Richtung ${}F(P)$ berechnet. Zeige, dass für ${}g\in C$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist ${}\delta (g)=0$.
2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung ${}y'=F(y)$ liegt in einer Faser von ${}g$.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

mit der Eigenschaft, dass der Subgraph ${}{\left\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} ,\,0\leq y\leq f(x)\right\}}$ nicht konvex, aber sternförmig ist.

Hilfsmittel

${}\arcsin 0,6=0,643501109...\,.$