Kurs:Analysis/Teil II/9/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	4	7	2	6	4	4	7	5	9	9	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abzählbare Teilmenge ( ${}n\geq 1$ ). Es sei ${}d$ eine Metrik auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ derart, dass ${}d(x,y)$ für ${}x\not \in T$ und ${}y\in \mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik übereinstimmt. Zeige, dass ${}d$ auf ganz ${}\mathbb {R} ^{n}$ die euklidische Metrik ist.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon L\rightarrow M$ zwischen metrischen Räumen in einem Punkt ${}x\in L$ .

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right).

b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right).

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto e^{t}x{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},

mit ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$ .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige für Polynomfunktionen

f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }

direkt, dass

{}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,

gilt.

Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung ${}v=(a,b)$ mit ${}a,b\neq 0$ existiert.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Offenheit der positiven Definitheit der Hesse-Form.

Aufgabe * (9 (2+2+5) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}+y^{2}+z^{2},\,2x+3y+4z\right).

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$ . Zeige, dass ${}P=(1,-2,1)$ regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt ${}P=(1,-2,1)$ den Tangentialraum an die Faser ${}F$ von ${}\varphi$ durch ${}P$ .

c) Man gebe für ${}P=(1,-2,1)$ einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von ${}P$ in der Faser ${}F$ durch ${}P$ an.

Aufgabe * (9 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

F\colon V\longrightarrow V

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$ . Wir betrachten die Abbildung

\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),

mit

{}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.

Man erhält also aus der Funktion ${}g$ die neue Funktion ${}\delta (g)$ , indem man an einem Punkt ${}P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion ${}g$ in Richtung ${}F(P)$ berechnet. Zeige, dass für ${}g\in C$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

Es ist ${}\delta (g)=0$ .
Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung ${}y'=F(y)$ liegt in einer Faser von ${}g$ .

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Skizziere den Graphen einer Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}

mit der Eigenschaft, dass der Subgraph ${}{\left\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} ,\,0\leq y\leq f(x)\right\}}$ nicht konvex, aber sternförmig ist.

Hilfsmittel

{}\arcsin 0,6=0,643501109...\,.