Ein Gittermaß weist nur den Gitterpunkten ein positives Maß zu. Wenn der Gitterabstand hinreichend klein ist, liefert das Gittermaß eine gute Approximation für den Inhalt für Figuren, die nicht allzu kompliziert sind.
- Gittermaße
Als weiteres diskretes Maß besprechen wir Gittermaße.
Pointillismus: Der Flächeninhalt (auf dem Bild) der hellgrünen Rasenfläche entspricht in etwa der Anzahl der hellgrünen Farbtupfer, der Anzahl der hellgrünen Pixels und der Anzahl der hellgrünen Synapsen.
- Ausschöpfungseigenschaften
Der
wird beispielsweise durch die Bälle
oder die Würfel
ausgeschöpft.
Beispielsweise ist eine reelle
Intervallschachtelung
eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.
Bei einer
-Algebra
gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen
auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu
. Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.
Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.
Es sei
eine Menge,
ein
Präring
auf
und
ein
Prämaß
auf
.
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
.
- Für Mengen
mit
gilt
.
Insbesondere ist ein Prämaß
monoton.
- Für Mengen
gilt
.
- Seien
,
,
und
aus
mit
[1]
Dann gilt
-

- Es sei
eine
Ausschöpfung
in
. Dann ist
-

wobei diese Folge
monoton wachsend
ist.
- Es sei
eine
Schrumpfung
in
und sei
vorausgesetzt. Dann ist
-

wobei diese Folge
monoton fallend
ist.
(1) ist in der Definition von
Prämaß
enthalten, da die leere Summe als
definiert ist.[2]
(2) folgt direkt aus der Definition, da
die
disjunkte Vereinigung
aus
und
ist.
(3) folgt daraus, dass
die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen
und
ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben
.
Dann gilt offensichtlich
für alle
, wobei die Vereinigungen der
jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt

(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen
als disjunkte Vereinigung mittels
und
.
Damit ist
-

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt
.
Entsprechend gilt
-

und daher
-

(6) Wir setzen
.
Da
,
,
eine absteigende Folge ist, ist
,
,
eine aufsteigende Folge, und zwar gilt
-

Daher gilt
-

nach Teil (5). Somit ist
(da
ist)
-


Wenn die Gesamtmenge
zu
gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung
aufgrund der Monotonie.
Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der
kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den
durch die abzählbar vielen Kugeln
,
, die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert.
- Der Eindeutigkeitssatz für Maße
Für jede
messbare Menge
ist
eine
Ausschöpfung
von
, so dass es nach
Lemma 63.4 (5)
genügt, die Gleichheit
-

für alle
und alle
zu zeigen. Es sei
fixiert. Wir betrachten das Mengensystem
-

und wir wollen zeigen, dass dies ganz
ist. Da
durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge
zu
.
Wir behaupten, dass
ein
Dynkin-System
ist. Offenbar ist
.
Seien
Teilmengen, die zu
gehören. Dann ist

so dass auch
zu
gehört. Es sei schließlich
,
,
eine
abzählbare Familie
paarweise disjunkter
Teilmengen aus
, und sei
-

Dann ist

so dass auch
zu
gehört.
Damit ist
ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem
enthält. Nach
Lemma 61.11
ist daher
,
und es gilt Gleichheit.

- Bildmaße
Das Bildmaß ist in der Tat ein Maß, siehe
Aufgabe 63.7.
Es seien
und
Maßräume.
Eine
messbare Abbildung
-
heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge
die Beziehung
-

gilt.
Eine messbare Abbildung
ist genau dann maßtreu, wenn
das Bildmaß von
unter
ist.
- Produkt von topologischen Räumen
Eine Zylinderoberfläche ist der Produktraum aus einer Kreislinie und einem Intervall.
- Fußnoten
- ↑ Man sagt, dass die
,
,
eine Überpflasterung von
bilden.
- ↑ Man kann auch, sobald es eine messbare Menge
mit endlichem Maß gibt, mittels
argumentieren, woraus aus
direkt
folgt.