Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 13
- Übungsaufgaben
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
Wir betrachten die Funktion
Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.
Zeige, dass die durch
definierte Funktion
nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.
Es sei ein reelles Intervall und
eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.
Bestimme den Grenzwert der Folge
Die Folge sei rekursiv durch und
definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
mit der Eigenschaft, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls nicht abgeschlossen sein muss.
Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion
derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
mit der Eigenschaft, dass das Bild eines offenen Intervalls nicht offen sein muss.
Es sei
eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.
Es seien
stetige Funktionen. Es sei mit und es gebe ein mit . Zeige, dass es ein derart gibt, dass die Einschränkung die Nullfunktion ist.
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.
Zeige, dass durch
eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung
gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme das Minimum der Funktion
(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)
Aufgabe (5 Punkte)
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den Grenzwert der Folge
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (7 Punkte)
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