Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 13



Übungsaufgaben

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.


Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Zeige, dass die durch

definierte Funktion

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.


Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.


Bestimme den Grenzwert der Folge


Die Folge sei rekursiv durch und

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.


Bestimme direkt, für welche die Potenzfunktionen

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.


Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

mit der Eigenschaft, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls nicht abgeschlossen sein muss.


Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.


Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

mit der Eigenschaft, dass das Bild eines offenen Intervalls nicht offen sein muss.


Es sei

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.


Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass nicht surjektiv ist.


Es seien

stetige Funktionen. Es sei mit und es gebe ein mit . Zeige, dass es ein derart gibt, dass die Einschränkung die Nullfunktion ist.


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.


Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Zeige, dass durch

eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung

gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion

(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)

Aufgabe (5 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls in sich. Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen wachsenden Funktionen

mit , mit und überabzählbar ist.


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