Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 14



Übungsaufgaben

Erläutere den Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig!


Es sei

eine Polynomfunktion vom Grad . Zeige, dass nicht gleichmäßig stetig ist.


Zeige, dass die Funktion

mit

stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.


Zeige, dass eine beschränkte, monotone, stetige Funktion

auf einen Intervall auch gleichmäßig stetig ist.


Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.


Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.


Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

von gibt.


Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion

derart, dass keine stetige Fortsetzung

existiert.


Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.


Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .


Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Führe die Details im Beweis zu Lemma 14.9 für den Fall aus.


Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .


Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung

und Werte gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung

die auf jedem Teilintervall durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte und durch eine gerade Strecke verbindet.


Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion

approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man nimmt.

Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung

und Werte gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


In den folgenden Aufgaben bedeutet die Menge der stetigen Funktionen von nach (für eine Teilmenge ) und den abgeschlossenen Vollkreis in mit Mittelpunkt und Radius (die Randpunkte gehören also dazu).



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Quadratwurzelfunktion

gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf abgebildet. Zeige, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige unbeschränkte Funktion

Zeige, dass eine solche Funktion keine stetige Fortsetzung auf besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei , und

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

von gibt.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und

eine Funktion. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem gibt es eine Unterteilung

derart, dass die lineare Interpolation (zu dieser Unterteilung und zu ) die Eigenschaft

erfüllt.

(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)


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