Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'=2{\text{ mit }}y(5)=3.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{2}-3t+4{\text{ mit }}y(-1)=-5.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'=\sin t{\text{ mit }}y(\pi )=7.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{3}-2t+5{\text{ mit }}y(3)=4.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ zeitunabhängig ist, d.h. dass ${}y_{1}(t)-y_{2}(t)$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wie sieht der Graph einer Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

aus, die nur von einer Variablen abhängt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y\,.$

Die folgende Aufgabe setzt Aufgabe 19.12 voraus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung

$D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f'.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=cy^{\frac {2}{3}}\,$

mit ${}c\in \mathbb {R} _{+}$.

Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.10.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}y(x)=x^{n}$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$) eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=ny^{\frac {n-1}{n}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Es sei

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. ${}f(t,y)\neq 0$ für alle ${}(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

injektiv ist.

b) Es sei ${}f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass ${}f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine differenzierbare Funktion ${}y(t)$ (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung

${}y'(t)=y(t-1)\,$

erfüllt (dabei ist $y(t-1)$ als der Wert der Funktion ${}y$ an der Stelle $t-1$ zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen ${}y$ mit ${}t-1$; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y{\text{ mit }}y(0)=3{\text{ und }}y^{\prime }(0)=-2.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=5{\text{ und }}y^{\prime }(0)=6.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung

${}y^{(n)}=0\,$

einen ${}n$-dimensionalen reellen Vektorraum bilden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y+t\,.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t^{3}}{t^{2}+1}}{\text{ mit }}y(1)=2.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

${}y'(t)={\frac {1}{\sinh t}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ mit der Anfangsbedingung ${}y(1)=7$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung

${}y^{\prime \prime \prime }=9y-3ty'+y^{\prime \prime }\,.$

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ unendlich oft differenzierbare Funktionen

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

derart gibt, dass die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ mit ${}f$ übereinstimmt, die Ableitungen ${}f^{(i)}$, ${}i<n$, aber nicht.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die von ${}2^{x}$ verschieden ist.