- Übungsaufgaben
Bestimme die[1]
Lösung des Anfangswertproblems
-
Bestimme die
Lösung des Anfangswertproblems
-
Bestimme die Lösung des
Anfangswertproblems
zum
Vektorfeld
-
und zur Anfangsbedingung
(dabei seien fixierte reelle Zahlen).
Es sei
-
ein
Vektorfeld.
Zeige, dass eine
konstante Abbildung
-
genau dann eine Lösung der
zugehörigen Differentialgleichung
ist, wenn
für alle
ist.
Es sei
-
eine
Lösung
der zeitunabhängigen
Differentialgleichung
-
zum Vektorfeld
-
Zeige, dass auch
-
zu jedem eine Lösung ist.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
ein fixierter Vektor und
-
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
-
für alle
.
Es sei
-
eine Lösung zur Differentialgleichung
-
Zeige, dass auch
-
eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Es sei ein
entkoppeltes Differentialgleichungssystem
zum
Vektorfeld
-
gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.
Finde alle
Lösungen des Differentialgleichungssystems zum
Vektorfeld
-
a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
-
(zu fixierten )
Lösungskurven
für die
Differentialgleichung
(bei )
-
sind.
b) Man gebe eine Lösung für das
Anfangswertproblem
-
zu dieser Differentialgleichung an.
Finde die Lösung des
Anfangswertproblems für das
Zentralfeld
-
mit .
Bestimme die Lösung des
Anfangswertproblems
für das
Zentralfeld
-
mit
.
Es sei ein Vektorfeld der Form
-
mit einer stetigen Funktion
-
gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei
-
eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung
-
Zeige, dass
-
eine Lösung der Differentialgleichung
-
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Lösung des Anfangswertproblems
-
Finde die
Lösung des Anfangswertproblems
zum
Vektorfeld
-
und zur Anfangsbedingung
.
Finde die Lösung des
Anfangswertproblems für das
Zentralfeld
-
mit .
Finde die Lösung des
Anfangswertproblems für das
Zentralfeld
-
mit .
- Fußnoten
- ↑ Mit dieser Formulierung wird hier und im Folgenden implizit benutzt, dass die Lösung eindeutig ist. In den meisten der hier gestellten Aufgaben ergibt sich die Eindeutigkeit direkt, sie ist aber nicht Teil der Aufgabenstellung.