Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 40

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

$v'={\begin{pmatrix}3\\-2\\-5\end{pmatrix}}{\text{ mit }}v(2)={\begin{pmatrix}-4\\6\\-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

$v'={\begin{pmatrix}t^{2}-\sin t\\\cos ^{2}t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}v(1)={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-ay,ax),$

und zur Anfangsbedingung ${}v(s)=(b,c)$

(dabei seien ${}a,b,c,s\in \mathbb {R}$ fixierte reelle Zahlen).

Aufgabe

Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v)=g(t)?$

Aufgabe

Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$

ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung

$\varphi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto \varphi (t)=c,$

genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=F(t,v)$ ist, wenn ${}F(t,c)=0$ für alle ${}t\in I$ ist.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V,\,t\longmapsto \varphi (t),$

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)=F(v)\,$

zum Vektorfeld

$F\colon V\longrightarrow V.$

Zeige, dass auch

${}\psi (t):=\varphi (t+c)\,$

zu jedem ${}c\in \mathbb {R}$ eine Lösung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}u\in V$ ein fixierter Vektor und

$F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

${}F(t,v)=F(t,v+u)\,$

für alle ${}v\in V$. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V$

eine Lösung zur Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,.$

Zeige, dass auch

${}\psi (t):=\varphi (t)+u\,$

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Aufgabe

Es sei ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem zum Vektorfeld

${}F(t,x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(t,x_{1}),\ldots ,f_{n}(t,x_{n}))\,$

gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen ${}x_{i}'=f_{i}(t,x_{i})$ zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.

Aufgabe

Finde alle Lösungen des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\left(t^{2}x,yt+\sin t\right)}.$

Aufgabe *

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at\cos \left(t+t_{0}\right),\,at\sin \left(t+t_{0}\right)\right),$

(zu fixierten $a,t_{0}\in \mathbb {R}$) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei ${}t>0$)

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-y+{\frac {x}{t}}\\x+{\frac {y}{t}}\end{pmatrix}}\,$

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

${}v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\,$

zu dieser Differentialgleichung an.

Aufgabe

Finde die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto {\left(t^{2}-t\right)}(v,w)={\left({\left(t^{2}-t\right)}v,{\left(t^{2}-t\right)}w\right)},$

mit ${}\varphi (0)=(1,1)$.

Aufgabe *

Bestimme die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto e^{t}x{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$

mit ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$.

Aufgabe *

Es sei ein Vektorfeld der Form

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},$

mit einer stetigen Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),$

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei ${}r\in \mathbb {R}$ und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

${}y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.$

Zeige, dass

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

$v'=\left(-\sin ^{3}t\cos t,\,{\frac {t^{3}-t+1}{t^{2}-4}}\right){\text{ mit }}v(0)=\left(3,\,7\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi )\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\left(xt-3(t+1)e^{-t},{\frac {t^{2}}{\sin y}}\right)}$

und zur Anfangsbedingung ${}v(0)=(2,0)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{3}-t)(v,w)=((t^{3}-t)v,(t^{3}-t)w),$

mit ${}\varphi (0)=(2,3)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{2}v)(v,w)=(t^{2}v^{2},t^{2}vw),$

mit ${}\varphi (0)=(5,-1)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen und

$F\colon U\longrightarrow V$

ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei

$v\colon J\longrightarrow U$

eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=F(v)$. Es gebe zwei Zeitpunkte ${}t_{0}\neq t_{1}$ in ${}J$ mit ${}v(t_{0})=v(t_{1})$. Zeige, dass es dann eine auf ganz ${}\mathbb {R}$ definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.

Fußnoten