Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 7/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}x$ und ${}J_{n}=[c_{n},d_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für ${}x+y$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, entsteht (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.

Aufgabe * Aufgabe 7.3 ändern

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe Aufgabe 7.4 ändern

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit ${}x_{n}\in I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Intervallschachtelung in ${}K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.

Zu zwei reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\frac {x+y}{2}}$

das arithmetische Mittel.

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\sqrt {x\cdot y}}$

das geometrische Mittel.

Aufgabe * Aufgabe 7.6 ändern

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch ${}x_{0}=a$, ${}y_{0}=b$ und durch

$x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},$

$y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.$

Zeige, dass ${}[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Quadrieren

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,u\longmapsto {\sqrt {u}},$

eine wachsende Funktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen ${}s$ und ${}t$ die Beziehung

${\sqrt {st}}={\sqrt {s}}{\sqrt {t}}$

besteht.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Tipp: Satz des Pythagoras.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge ${}a$ (also jedem ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$) die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, ${}a\neq 0$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

$0{,}3333333333\dotso$

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von ${}3x$ sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ${}3x$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

$x=0,z_{1}z_{2}z_{3}\ldots$

und

$y=0,u_{1}u_{2}u_{3}\ldots$

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen ${}xy$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

$x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_{n}={\frac {2n+5{\sqrt {n}}+7}{-5n+3{\sqrt {n}}-4}}$

definierten reellen Folge.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert ${}x$. Zeige, dass die Folge ${}{\sqrt {x_{n}}}$ gegen ${}{\sqrt {x}}$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}x_{n+1}:={\frac {(k-1)x_{n}+{\frac {a}{x_{n}^{k-1}}}}{k}}\,$

eine Folge definiert wird, die gegen ${}{\sqrt[{k}]{a}}$ konvergiert.

Aufgabe Aufgabe 7.19 ändern

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$, ${}k\in \mathbb {N}$, ${}M={\left\{x\in \mathbb {R} _{\geq 0}\mid x^{k}\leq a\right\}}$ und ${}s={\operatorname {sup} \,(M)}$. Zeige ${}s^{k}=a$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b$ positive reelle Zahlen und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$

2. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$

Aufgabe * Aufgabe 7.21 ändern

Es sei ${}b\geq 1$ eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

${}x_{n}:=b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{b}}\,$

(mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$).

1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder ${}\geq 1$ sind.
3. Zeige, dass die Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe * Aufgabe 7.22 ändern

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Untersuche die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}\,$

auf Konvergenz.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}A$ und ${}B$ beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$. Ferner sei ${}A+B:={\left\{a+b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$ und ${}A-B:={\left\{a-b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$.

1. Zeige, dass ${}\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
2. Wie lautet die entsprechende Formel für ${}\sup(A-B)$?
3. Zeige, dass ${}\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$.
4. Was lässt sich über ${}\sup(A\cap B)$ sagen?
5. Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.$

Zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ betrachten wir die reelle Folge

$x_{n}=f^{n}(x_{0}),$

es gilt also die rekursive Beziehung ${}x_{n+1}=f(x_{n})$. Zeige, dass die Folge für ${}x_{0}\in [-2,1]$ einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für ${}K$ die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

${}{\binom {n}{k}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\leq {\frac {1}{k!}}\,,$

b)

${}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\leq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von

${}e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,.$

Für welches ${}n$ wird diese Genauigkeit erreicht?

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ und jedem ${}\epsilon >0$ Elemente ${}t\in T$ mit

${}\vert {t-x}\vert <\epsilon \,$

gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der Dezimalbrüche in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ eine fixierte natürliche Zahl und es sei ${}T$ die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}k$ als Nenner schreiben kann. Zeige, dass ${}T$ in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann dicht in ${}\mathbb {R}$ ist, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ gibt, die gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, entsteht (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.

Der dritte Teil erfordert Grundtatsachen über den Divisionsalgorithmus.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

${}a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\,$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

${}x_{n}={\frac {{\sqrt {n}}^{n}}{n!}}\,$

gegebene Folge auf Konvergenz.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

${}x_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\,.$

Zeige, dass diese Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und dass der Grenzwert ${}x$ die Bedingung

${}x=1+x^{-1}\,$

erfüllt. Berechne daraus ${}x$.

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass jede Folge in ${}\mathbb {R}$ eine monotone Teilfolge besitzt.