Übungsaufgaben
Bestimme das Minimum der Funktion
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle {}f(x)=x^{2}+bx+c\,}
in Abhängigkeit von
b
{\displaystyle {}b}
c
{\displaystyle {}c}
partiellen Ableitungen
zu tun?
Bestimme die
partiellen Ableitungen
der Funktion
f
:
R
2
⟶
R
,
(
x
,
y
)
⟼
x
2
y
5
−
cos
(
x
3
−
y
2
)
.
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{5}-\cos \left(x^{3}-y^{2}\right).}
Bestimme die
partiellen Ableitungen
der Funktion
f
:
R
3
⟶
R
2
,
(
x
,
y
,
z
)
⟼
(
x
2
y
2
+
3
+
x
3
y
z
2
,
x
11
−
x
2
y
3
e
x
z
−
ln
(
x
2
+
y
2
+
x
4
z
6
+
1
)
)
.
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\sqrt {x^{2}y^{2}+3}}+x^{3}yz^{2},\,x^{11}-x^{2}y^{3}e^{xz}-\ln \left(x^{2}+y^{2}+x^{4}z^{6}+1\right)\right).}
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
K
2
⟶
K
2
,
(
x
,
y
)
⟼
(
x
3
y
−
x
2
,
x
4
y
2
−
3
x
y
3
+
5
y
)
.
{\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{3}y-x^{2},x^{4}y^{2}-3xy^{3}+5y\right)}.}
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
K
3
⟶
K
2
,
(
x
,
y
,
z
)
⟼
(
x
2
y
z
3
−
sin
x
,
exp
(
x
4
y
)
−
2
x
2
z
3
cos
(
x
y
2
z
)
)
.
{\displaystyle {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(x^{2}yz^{3}-\sin x,\exp(x^{4}y)-2x^{2}z^{3}\cos(xy^{2}z)\right)}.}
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
{
(
x
,
y
)
∈
K
2
∣
y
≠
0
}
⟶
K
,
(
x
,
y
)
⟼
x
y
.
{\displaystyle {\left\{(x,y)\in {\mathbb {K} }^{2}\mid y\neq 0\right\}}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.}
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
f
:
R
2
∖
{
(
0
,
0
)
}
⟶
R
3
,
(
x
,
y
)
⟼
(
sin
x
x
2
+
y
4
,
x
2
y
x
2
+
y
2
,
ln
(
x
2
+
y
2
)
)
,
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),}
in jedem Punkt.
Beschreibe die Abbildung
C
⟶
C
,
z
⟼
z
2
,
{\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},}
in reellen Koordinaten und bestimme die
Jacobi-Matrix .
Ebenso für
z
3
,
z
4
,
z
5
{\displaystyle {}z^{3},z^{4},z^{5}}
Die komplexen Zahlen
C
{\displaystyle {}{\mathbb {C} }}
R
2
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}
R
2
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}
z
=
x
+
i
y
∈
C
{\displaystyle {}z=x+iy\in {\mathbb {C} }}
i
{\displaystyle {}i}
x
∈
R
{\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }
y
∈
R
{\displaystyle {}y\in \mathbb {R} }
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
Die gegebene Abbildung, die von
C
{\displaystyle {}{\mathbb {C} }}
C
{\displaystyle {}{\mathbb {C} }}
R
2
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}
R
2
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle {}z=x+iy}
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}(x,y)}
z
{\displaystyle {}z}
x
+
i
y
{\displaystyle {}x+iy}
z
2
=
(
x
+
i
y
)
2
=
x
2
+
2
i
x
y
−
y
2
.
{\displaystyle z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}.}
Dies ist einfach die binomische Formel, nur muss man aufpassen, dass
i
2
=
−
1
{\displaystyle {}i^{2}=-1}
x
2
−
y
2
{\displaystyle {}x^{2}-y^{2}}
2
x
y
{\displaystyle {}2xy}
R
2
⟶
R
2
,
(
x
,
y
)
⟼
(
x
2
−
y
2
,
2
x
y
)
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{2},2xy).}
In jeder Komponente der Abbildung steht ein Polynom, weshalb diese partiell integrierbar sind (alle partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten).
Die Jacobi-Matrix erhalten wir nun durch Berechnung der partiellen Ableitungen in
x
{\displaystyle {}x}
y
{\displaystyle {}y}
x
{\displaystyle {}x}
y
{\displaystyle {}y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}(x,y)}
Jak
(
f
)
(
x
,
y
)
=
(
2
x
−
2
y
2
y
2
x
)
{\displaystyle \operatorname {Jak} (f)_{(x,y)}={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}}
Der Rest der Aufgabe geht dann ähnlich.
Diskutieren und Fragen
Bestimme sämtliche
höheren Richtungsableitungen
der Abbildung
K
2
⟶
K
,
(
x
,
y
)
⟼
x
2
y
3
−
x
3
y
,
{\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-x^{3}y,}
die sich mit den beiden Standardrichtungen
(
1
,
0
)
{\displaystyle {}(1,0)}
(
0
,
1
)
{\displaystyle {}(0,1)}
Eine Schlange ist im ausgestreckten Ruhezustand einen Meter lang und ziemlich dünn, sie wird durch ihre Länge
[
0
,
1
]
{\displaystyle {}[0,1]}
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}[a,b]}
φ
:
[
0
,
1
]
×
[
a
,
b
]
⟶
R
2
,
(
s
,
t
)
⟼
φ
(
s
,
t
)
,
{\displaystyle \varphi \colon [0,1]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(s,t)\longmapsto \varphi (s,t),}
beschrieben, dabei bezeichnet
φ
(
s
,
t
)
{\displaystyle {}\varphi (s,t)}
t
{\displaystyle {}t}
s
{\displaystyle {}s}
Welche Signifikanz besitzt die Abbildung
[
a
,
b
]
⟶
R
2
,
t
⟼
φ
(
0
,
t
)
?
{\displaystyle [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \varphi (0,t)?}
Welche Signifikanz besitzt die Abbildung
[
0
,
1
]
⟶
R
2
,
s
⟼
φ
(
s
,
c
)
,
{\displaystyle [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto \varphi (s,c),}
zu einem festen Zeitpunkt
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}c\in [a,b]}
Welche Signifikanz besitzt die Bedingung
∫
0
1
‖
∂
φ
∂
s
(
s
,
c
)
d
s
‖
=
1
{\displaystyle {}\int _{0}^{1}\Vert {{\frac {\partial \varphi }{\partial s}}(s,c)ds}\Vert =1\,}
für ein
(für alle)
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}c\in [a,b]}
Welche Signifikanz besitzt die Bedingung
∫
0
r
‖
∂
φ
∂
s
(
s
,
c
)
d
s
‖
=
r
{\displaystyle {}\int _{0}^{r}\Vert {{\frac {\partial \varphi }{\partial s}}(s,c)ds}\Vert =r\,}
für alle
r
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle {}r\in [0,1]}
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}c\in [a,b]}
Wir betrachten für
0
≤
u
≤
1
2
{\displaystyle {}0\leq u\leq {\frac {1}{2}}}
ψ
u
:
[
0
,
1
]
⟶
R
2
{\displaystyle \psi _{u}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}
mit
ψ
u
(
s
)
:=
{
(
u
−
1
4
)
+
1
4
(
cos
(
1
2
π
−
4
s
+
4
u
)
sin
(
1
2
π
−
4
s
+
4
u
)
)
für
0
≤
s
≤
u
,
(
s
0
)
für
u
≤
s
≤
1
−
u
,
(
1
−
u
1
4
)
+
1
4
(
cos
(
3
2
π
+
4
s
−
4
+
4
u
)
sin
(
3
2
π
+
4
s
−
4
+
4
u
)
)
für
1
−
u
≤
s
≤
1
.
{\displaystyle {}\psi _{u}(s):={\begin{cases}{\begin{pmatrix}u\\-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {1}{2}}\pi -4s+4u\right)\\\sin \left({\frac {1}{2}}\pi -4s+4u\right)\end{pmatrix}}{\text{ für }}0\leq s\leq u\,,\\{\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}}{\text{ für }}u\leq s\leq 1-u\,,\\{\begin{pmatrix}1-u\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {3}{2}}\pi +4s-4+4u\right)\\\sin \left({\frac {3}{2}}\pi +4s-4+4u\right)\end{pmatrix}}{\text{ für }}1-u\leq s\leq 1\,.\end{cases}}\,}
Skizziere das Bild der Funktion
ψ
u
{\displaystyle {}\psi _{u}}
u
=
0
,
1
4
,
1
3
,
1
2
.
{\displaystyle {}u=0,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\,.}
Zeige, dass die
ψ
u
{\displaystyle {}\psi _{u}}
stetig
sind.
Zeige, dass die
ψ
u
{\displaystyle {}\psi _{u}}
differenzierbar
sind.
Zeige, dass die
Kurvenlänge
der
ψ
u
{\displaystyle {}\psi _{u}}
1
{\displaystyle {}1}
Es sei
λ
∈
R
{\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }
f
(
t
,
x
)
=
sin
(
λ
x
)
e
−
λ
2
t
.
{\displaystyle {}f(t,x)=\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\,.}
Zeige, dass
f
{\displaystyle {}f}
Wärmeleitungsgleichung
∂
f
∂
t
=
∂
∂
x
∂
f
∂
x
{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,}
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
f
:
R
2
⟶
R
,
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,}
die im Nullpunkt
partiell differenzierbar
ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die
Richtungsableitung
in keine Richtung
v
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {}v=(a,b)}
a
,
b
≠
0
{\displaystyle {}a,b\neq 0}
Es seien
P
,
Q
{\displaystyle {}P,Q}
φ
:
K
2
⟶
K
2
,
(
x
,
y
)
⟼
(
P
(
x
,
y
)
,
Q
(
x
,
y
)
)
,
{\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),}
die zugehörige Abbildung. Die
Determinante
der
Jacobi-Matrix
zu
φ
{\displaystyle {}\varphi }
P
∈
K
2
{\displaystyle {}P\in {\mathbb {K} }^{2}}
0
{\displaystyle {}0}
Zeige, dass bei
K
=
C
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }}
Zeige durch ein Beispiel, dass bei
K
=
R
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} }
Zeige für Polynomfunktionen
f
:
K
n
⟶
K
{\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }}
direkt, dass
∂
∂
x
i
∂
f
∂
x
j
=
∂
∂
x
j
∂
f
∂
x
i
{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,}
gilt.
Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
K
3
⟶
K
3
,
(
x
,
y
,
z
)
⟼
(
sin
x
y
,
x
2
y
3
z
4
−
y
sinh
z
,
x
y
2
z
+
5
)
.
{\displaystyle {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(\sin xy,x^{2}y^{3}z^{4}-y\sinh z,xy^{2}z+5\right)}.}
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
K
2
⟶
K
,
(
x
,
y
)
⟼
x
y
3
−
x
2
y
2
−
4
y
2
.
{\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-x^{2}y^{2}-4y^{2}.}
Berechne die
Richtungsableitung
dieser Abbildung in einem Punkt
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}(x,y)}
(
2
,
5
)
{\displaystyle {}(2,5)}
(
2
,
5
)
{\displaystyle {}(2,5)}
Zeige, dass keine
partiell differenzierbare Funktion
f
:
R
2
⟶
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }
existiert, so dass
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
=
x
y
und
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
y
2
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=xy\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=y^{2}}
für alle
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
Es sei
φ
:
R
2
⟶
R
,
(
x
,
y
)
⟼
φ
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),}
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion ,
für die in jedem Punkt
P
∈
R
2
{\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{2}}
∂
2
∂
y
∂
x
φ
(
P
)
=
0
{\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}\varphi (P)=0\,}
gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
f
,
g
:
R
⟶
R
{\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }
derart gibt, dass
φ
(
x
,
y
)
=
f
(
x
)
+
g
(
y
)
{\displaystyle {}\varphi (x,y)=f(x)+g(y)\,}
gilt.
Zeige, dass die Funktion
f
:
R
2
⟶
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }
mit
f
(
x
,
y
)
=
{
x
y
x
2
−
y
2
x
2
+
y
2
für
(
x
,
y
)
≠
(
0
,
0
)
,
0
für
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
,
{\displaystyle {}f(x,y)={\begin{cases}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}\,}
zweimal
partiell differenzierbar
ist, und dass
D
1
D
2
f
(
0
,
0
)
≠
D
2
D
1
f
(
0
,
0
)
{\displaystyle {}D_{1}D_{2}f(0,0)\neq D_{2}D_{1}f(0,0)\,}
gilt.
![{\displaystyle {}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5d0a058030cf6f54dea8f7b56f08f18cfa7e4f)
![{\displaystyle {}[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5a6e660b5cdc1a9c76f6e6b0d486328c3f6937)
![{\displaystyle \varphi \colon [0,1]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(s,t)\longmapsto \varphi (s,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59314069d861704b07bfc978e0b39d0fb2aa8c0)
![{\displaystyle [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \varphi (0,t)?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17f679cc5c4398021a81a844359d67ba836b835)
![{\displaystyle [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto \varphi (s,c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416727b49729585c115fd1ba879398e27a844a81)
![{\displaystyle {}c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e96620a8d7941d7b882a2148f8703b82848ecad)
![{\displaystyle {}r\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1aff1a3697b3a3ea9027553697ce9cf3a9a8bcb)
![{\displaystyle \psi _{u}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e56eaeb7c268e74b91378dde080403c9662904)
![{\displaystyle \varphi \colon [0,1]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714ba76dcb4fc83aac58f4be6ba485ac98489cc3)
