Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 26

Aufgabe

Definiere eine Garbe auf ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit nichttrivaler erster Kohomologie.

Aufgabe

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zeige

${}{\check {H}}^{0}(U_{i},i\in I,{\mathcal {G}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Es sei ${}s\in {\check {C}}^{k}({U_{i}},{\mathcal {G}})$ ein Čech-Kozykel, der für ein bestimmtes ${}J=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k}\}\subseteq I$ den Wert ${}a\in \Gamma {\left(U_{J},{\mathcal {G}}\right)}$ und für alle anderen ${}(k+1)$-elementigen Teilmengen ${}J'\neq J$ den Wert ${}0$ besitzt. Bestimme ${}\delta (s)\in {\check {C}}^{k+1}({U_{i}},{\mathcal {G}})$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ die projektive Gerade über ${}K$. Bestimme die erste Čech-Kohomologie ${}{\check {H}}^{1}(D_{+}(X),D_{+}(Y),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}^{\times })$. Welche Beziehung besteht zu Beispiel 26.1?

Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung aus dem Beweis zu Lemma 26.8, die einem Schnitt ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ eine Čech-Kohomologieklasse zu ${}{\mathcal {F}}$ zuordnet, unabhängig von den gewählten lokalen Repräsentanten in ${}{\mathcal {I}}$ und ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein irreduzibler topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {G}}$ die konstante Garbe zur kommutativen Gruppe ${}G$. Bestimme den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologien zu ${}{\mathcal {G}}$ zu einer endlichen offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum, ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul. Zeige, dass der Čech-Komplex zu ${}{\mathcal {F}}$ zur gegebenen Überdeckung ein Komplex von ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$- Moduln ist und dass folglich die Čech-Kohomologien ebenfalls ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$-Moduln sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=D(f)\cup D(g)$ mit ${}f,g\in R$. Zeige

${}{\check {H}}^{1}(\{D(f),D(g)\},{\mathcal {O}}_{X})=0\,.$