Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 27

Aufgabe

Es sei ${}A=R[X]$ über einem kommutativen Ring ${}R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur einelementigen Überdeckung bestehend aus ${}D(X)$ der punktierten Geraden. Welche Homologie ergibt sich dabei?

Aufgabe

Es sei ${}A=R[X,Y]$ über einem kommutativen Ring ${}R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur Standardüberdeckung der punktierten Ebene zu den Monomen

1. ${}X^{2}Y^{3}$,
2. ${}X^{5}Y^{-4}$.
3. ${}X^{-3}Y^{-6}$.

Welche Homologien ergeben sich jeweils dabei?

Aufgabe

Es sei ${}A=R[X,Y,Z]$ über einem kommutativen Ring ${}R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur Standardüberdeckung des punktierten Raumes zum Monom ${}X^{3}Y^{-2}Z^{7}$. Welche Homologien ergeben sich dabei?

Aufgabe

Es sei ${}A=R[X,Y,Z]$ über einem kommutativen Ring ${}R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur Standardüberdeckung des punktierten Raumes zum Monom ${}X^{-5}YZ^{-4}$. Welche Homologien ergeben sich dabei?

Aufgabe

Es sei ${}A=R[X,Y,Z,W]$ über einem kommutativen Ring ${}R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur Standardüberdeckung des punktierten Raumes zum Monom ${}X^{-3}YZ^{3}W^{-2}$. Welche Homologien ergeben sich dabei?

Aufgabe

Es sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ und ${}H$ der von allen Monomen ${}X^{\nu }$ in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{d}$ mit ${}\nu _{j}\leq -1$ für alle ${}j$ erzeugte ${}K$- Vektorraum, also

${}H=K\langle X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{d}^{\nu _{d}},\,\nu _{j}\leq -1\rangle \,.$

Definiere eine natürliche ${}K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$- Modulstruktur auf ${}H$.

Aufgabe

Es sei ${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ und ${}H$ der von allen Monomen ${}X^{\nu }$ in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{d}$ mit ${}\nu _{j}\leq -1$ für alle ${}j$ erzeugte ${}K$- Vektorraum, also

${}H=K\langle X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{d}^{\nu _{d}},\,\nu _{j}\leq -1\rangle \,.$

Zeige, dass durch

$K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\longrightarrow H,\,Y^{\mu }\longmapsto X^{-\mu -(1,1,\ldots ,1)},$

ein ${}K$- Isomorphismus von ${}K$-Vektorräumen gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ und ${}H$ der von allen Monomen ${}X^{\nu }$ in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{d}$ mit ${}\nu _{j}\leq -1$ für alle ${}j$ erzeugte ${}K$- Vektorraum, also

${}H=K\langle X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{d}^{\nu _{d}},\,\nu _{j}\leq -1\rangle \,.$

Zeige, dass durch

$\theta \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\longrightarrow H,\,Y^{\mu }\longmapsto \mu !X^{-\mu -(1,1,\ldots ,1)},$

ein ${}K$- Isomorphismus von ${}K$-Vektorräumen gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und es seien ${}K[X_{1},\ldots ,X_{d}],K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ und ${}K[D_{1},\ldots ,D_{d}]$ Polynomringe in ${}d$ Variablen. Es sei ${}H$ der in Aufgabe 27.6 beschriebene ${}K$- Vektorraum mit der natürlichen ${}K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$- Modulstruktur. Der Polynomring ${}K[D_{1},\ldots ,D_{d}]$ wirke auf dem Polynomring ${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ dadurch, dass die ${}D_{i}$ die Wirkungsweise der ${}i$-ten partiellen Ableitung übernehmen, also ${}D_{i}=\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial Y_{i}}}$. Zeige, dass mit der Zuordnung ${}D_{i}\mapsto X_{i}$ und der Zuordnung ${}\theta \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\rightarrow H$ aus Aufgabe 27.8 ein Modulisomorphismus vorliegt.

Für die folgende Aufgabe beachte man, dass in ihr im glatten Fall wegen Korollar 19.12 die Dimension des Raumes der globalen Differentialformen ausgerechnet wird.

Aufgabe

Es sei ${}C=V_{+}(f)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem Körper ${}K$ vom Grad ${}d$. Zeige unter Verwendung der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz (vergleiche Aufgabe 13.23)

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-3){\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(d-3)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(d-3)\longrightarrow 0$

auf der projektiven Ebene und Satz 27.4, dass die Dimension von ${}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C}(d-3))$ gleich ${}{\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$ ist.

Für die beiden folgenden Aufgaben vergleiche Satz 22.12.

Aufgabe

Berechne den Čech-Komplex zur Einheitengarbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}^{\times }$ zur affinen Standardüberdeckung auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ über einem Körper ${}K$ sowie die erste Čech-Kohomologie ${}{\check {H}}^{1}(D_{+}(X),D_{+}(Y),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}^{\times })$.

Aufgabe

Berechne den Čech-Komplex zur Einheitengarbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}^{\times }$ zur affinen Standardüberdeckung auf der projektiven Ebene ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$ sowie die erste Čech-Kohomologie ${}{\check {H}}^{1}(D_{+}(X),D_{+}(Y),D_{+}(Z),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}^{\times })$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M_{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, seien ${}R$-Moduln mit fixierten ${}R$- Modulhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow M_{i+1}.$

Die Sequenz

$\ldots \longrightarrow M_{i}\longrightarrow M_{i+1}\longrightarrow M_{i+2}\longrightarrow M_{i+3}\longrightarrow \ldots$

heißt exakt, wenn für alle ${}i$ gilt, dass ${}\operatorname {Kern} \,(\varphi _{i})=\operatorname {Bild} \,(\varphi _{i-1})$ ist.

1. Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition . übereinstimmt.
2. Es sei nun ${}R=K$ ein Körper, die ${}M_{i}$ seien endlich erzeugt, ${}M_{0}=0$ und alle ${}M_{i}=0$ für ${}i\geq n$ für ein gewisses ${}n$. Zeige, dass

   ${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {dim} _{K}M_{i}=0\,.$

Aufgabe

Berechne die Euler-Charakteristik für die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)$ auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.