Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 13/kontrolle
- Einheiten
Das Element mit der Eigenschaft ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch die Eigenschaft , so ist
Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe (bzgl. der Multiplikation mit als neutralem Element). Wenn und die Inversen und haben, so ist das Inverse von gleich .
Zu einer Einheit machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann für definiert. Die Zahl (also das Negative zu ) ist stets eine Einheit, da ja ist. Bei besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also . Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit. Für eine Einheit ist auch die Bruchschreibweise erlaubt und gebräuchlich. D.h. wenn eine Einheit ist und beliebig, so setzt man
Wie gesagt, der Nenner muss eine Einheit sein!
Wenn außer der Null alle Elemente Einheiten sind, so verdient das einen eigenen Namen, wovon der folgende Abschnitt handelt.
- Körper
Viele wichtige Zahlbereiche haben die Eigenschaft, dass man durch jede Zahl - mit der Ausnahme der Null! - auch dividieren darf. Dies wird durch den Begriff des Körpers präzisiert.
Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
Es sind also die rationalen Zahlen , die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen Körper, die ganzen Zahlen dagegen nicht. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung noch viele weitere Körper kennenlernen. Einen Körper kann man auch charakterisieren als einen kommutativen Ring, bei der die von null verschiedenen Elemente eine Gruppe (mit der Multiplikation) bilden.
Wenn ein Unterring in einem Körper vorliegt, so muss man nur noch schauen, ob mit jedem von null verschiedenen Element auch das Inverse (das in existiert) enthält. Bei einem Unterring , wobei ein Körper ist, aber nicht, so spricht man nicht von einem Unterkörper. Die Situation, wo ein Körper in einem anderen Körper liegt, wird als Körpererweiterung bezeichnet.
Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.
- Ringhomomorphismen
Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Zu einem Unterring ist die natürliche Inklusion ein Ringhomomorphismus. Die konstante Abbildung in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also , nur bei ein Ringhomomorphismus.
Ein Ringhomomorphismus muss die auf die abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 5.5 genau einen Gruppenhomomorphismus
Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass . ist, wobei hier die Multiplikation in bezeichnet. Dies folgt für aus dem allgemeinen Distributivgesetz. Daraus folgt es für beliebige aufgrund der Vorzeichenregeln.
Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus
(oder den charakteristischen Ringhomomorphismus)
von nach .
Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.
Wichtige Ringe wie besitzen die Charakteristik , die Restklassenringe besitzen die Charakteristik . Die Charakteristik ist die Ordnung des Elementes in der additiven Gruppe (allerdings entspricht die Ordnung der Charakteristik ). Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.
Es sei ein Integritätsbereich.
Dann ist die Charakteristik von null oder eine Primzahl.
Die Charakteristik sei und es sei angenommen, dass keine Primzahl ist, also eine Zerlegung mit kleineren Zahlen besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist in und ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Satz 13.7 ist , sodass, weil ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von .
Es sei ein Ring und sei der Endomorphismenring der additiven Gruppe .
Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus
Für jedes ist die Multiplikation
ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.
Für die Gesamtzuordnung gilt zunächst und . Wegen
für jedes ist additiv. Die Multiplikativität folgt aus
Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus folgt, dass insbesondere sein muss.
Es seien und Ringe und sei
ein Ringhomomorphismus. Es sei eine Einheit.
Dann ist auch eine Einheit.
Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus
Beweis
- Ideale
Wir beschränken uns im Folgenden auf kommutative Ringe, um nicht zwischen Linksidealen, Rechtsidealen und beidseitigen Idealen unterscheiden zu müssen.
Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- .
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von , die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das Nullideal und das Einheitsideal .
Für den Ring der ganzen Zahlen sind Untergruppen und Ideale identische Begriffe. Dies folgt einerseits aus der Gestalt für jede Untergruppe von (die ihrerseits aus der Division mit Rest folgt), aber ebenso direkt aus der Tatsache, dass für und beliebiges gilt ( Summanden) und entsprechend für negatives . Die Skalarmultiplikation mit einem beliebigen Ringelement lässt sich also bei auf die Addition zurückführen.
Wir werden auf Hauptideale im Rahmen der Teilbarkeitstheorie bald zurückkommen.
Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
wobei eine endliche Teilmenge und ist.
Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal in , das alle , , enthält. Dass ein solches Ideal existiert ist auch deshalb klar, weil der Durchschnitt von einer beliebigen Familie von Idealen wieder ein Ideal ist. Ein Hauptideal ist demnach ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.
Die Idealtheorie in einem Ring reflektiert viele Eigenschaften des Ringes, worauf wir im Rahmen der Teilbarkeitstheorie zurückkommen werden. Eine erste Beobachtung in diese Richtung kommt im folgenden Lemma zum Ausdruck.
Es sei ein kommutativer Ring.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .
Es sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Es sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , sodass eine Einheit ist.
- Ideale unter einem Ringhomomorphismus
Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.
Es sei
Wegen . ist . Es seien . Das bedeutet und . Dann ist
und daher .
Es sei nun und beliebig. Dann ist
also ist .
Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das
Kernkriterium
für die
Injektivität.
Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.
Es sei ein Körper und ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei
ein Ringhomomorphismus.
Dann ist injektiv.
Es genügt nach Lemma 5.12 zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ist. Nach Satz 13.6 ist der Kern ein Ideal. Da die auf geht, ist der Kern nicht ganz . Da es nach Lemma 13.15 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.
