Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 26

Einheitswurzeln

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^{n}-1$

in ${}K$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$.

Die ${}1$ ist für jedes ${}n$ eine ${}n$-te Einheitswurzel, und die ${}-1$ ist für jedes gerade ${}n$ eine ${}n$-te Einheitswurzel. Es gibt maximal ${}n$ ${}n$-te Einheitswurzeln, da das Polynom ${}X^{n}-1$ maximal ${}n$ Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe (mit ${}x^{n}=1$ und ${}y^{n}=1$ ist auch ${}(xy)^{n}=1$, usw.) der Einheitengruppe des Körpers. Nach Satz 19.7 ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die ${}n$ teilt.

Definition

Eine ${}n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt.

Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es ${}n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ist, so sind genau die ${}\zeta ^{i}$ mit ${}i<n$ und ${}i$ teilerfremd zu ${}n$ die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau ${}{\varphi (n)}$ primitive Einheitswurzeln, wobei ${}{\varphi (n)}$ die eulersche ${}\varphi$-Funktion bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Die Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$ über ${}{\mathbb {C} }$ sind

$e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$

In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung

${}X^{n}-1=(X-1){\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}{\cdots }{\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n}\right)}\,.$

Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$

mit ${}0\leq k\leq \ell \leq n-1$ sofort, durch Betrachten des Quotienten, ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus

${}\ell -k=0\,.$

Es gibt also ${}n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.

$\Box$

Kreisteilungskörper

Definition

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}\mathbb {Q}$.

Offenbar ist ${}1$ eine Nullstelle von ${}X^{n}-1$. Daher kann man ${}X^{n}-1$ durch ${}X-1$ teilen und erhält, wie man schnell nachrechnen kann,

${}X^{n}-1=(X-1){\left(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1\right)}\,.$

Wegen ${}1\in \mathbb {Q}$ ist daher der ${}n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

$X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1.$

Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber weitgehend auf die Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$, die wir auch mit ${}K_{n}$ bezeichnen. Da ${}X^{n}-1$ auf die in Lemma 26.3 beschriebenen Art über ${}{\mathbb {C} }$ in Linearfaktoren zerfällt, kann man ${}K_{n}$ als Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ realisieren, und zwar ist ${}K_{n}$ der von allen ${}n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt. Wir erwähnen den folgenden Begriff.

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, heißt einfach, wenn es ein Element ${}x\in L$ mit

${}L=K(x)\,$

gibt.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$

von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist also

${}K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Beweis

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$. Wegen ${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{n}=1$ ist ${}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\subseteq K_{n}$. Wegen ${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{k}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}$ gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu ${}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]$, also ist ${}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]=K_{n}$.

$\Box$

Statt ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ kann man auch jede andere ${}n$-te primitive Einheitswurzel aus ${}{\mathbb {C} }$ als Erzeuger nehmen.

Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine ${}n$. Bei ${}n=1$ oder ${}2$ ist der Kreisteilungskörper gleich ${}\mathbb {Q}$. Bei ${}n=3$ ist

${}X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$

und der zweite Faktor zerfällt

${}X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von ${}{\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ erzeugte Körper, es ist also ${}K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei ${}n=4$ ist natürlich

${}{\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$, also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist der ${}p$-te Kreisteilungskörper gleich

$\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1\right)}.$

Insbesondere besitzt der ${}p$-te Kreisteilungskörper den Grad ${}p-1$ über ${}\mathbb {Q}$.

Beweis

Der ${}p$-te Kreisteilungskörper wird nach Lemma 26.6 von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt, er ist also isomorph zu ${}\mathbb {Q} [X]/(P)$, wobei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von ${}X^{p}-1$ und wegen ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}\neq 1$ ist ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von ${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$. Das Polynom ${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$ ist irreduzibel nach Aufgabe 22.12 und daher handelt es sich nach Lemma 21.13  (2) um das Minimalpolynom von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$.

$\Box$

Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Lemma 26.8 die Gestalt

${}K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,$

wobei die Variable ${}X$ als ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei ${}x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ und setze ${}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

${}{\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}$

Es ist also ${}v={\sqrt {5}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.$

Dies zeigt aufgrund von

Satz 25.3, dass die fünften Einheitswurzeln konstruierbare Zahlen sind.

Kreisteilungspolynome

Definition

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien ${}z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$

das ${}n$-te Kreisteilungspolynom.

Nach Konstruktion hat das ${}n$-te Kreisteilungspolynom den Grad ${}{\varphi (n)}$.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gilt in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Gleichung

${}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}\,.$

Beweis

Jede der ${}n$ verschiedenen ${}n$-ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung ${}d$, die ein Teiler von ${}n$ ist. Eine ${}n$-te Einheitswurzel der Ordnung ${}d$ ist eine primitive ${}d$-te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus

${}{\begin{aligned}X^{n}-1&=\prod _{z{\text{ ist }}n{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\\&=\prod _{d{|}n}{\left(\prod _{z{\text{ ist primitive }}d{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\right)}\\&=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}.\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in ${}\mathbb {Z}$.

Beweis

Induktion über ${}n$. Für ${}n=1$ ist ${}\Phi _{1}=X-1\in \mathbb {Z} [X]$. Für beliebiges ${}n$ betrachten wir die in Lemma 26.11 bewiesene Darstellung

${}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}={\left(\prod _{d{|}n,\,d\neq n}\Phi _{d}\right)}\cdot \Phi _{n}\,.$

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in ${}\mathbb {Z}$. Daraus folgt mit Aufgabe 26.5, dass auch ${}\Phi _{n}$ Koeffizienten in ${}\mathbb {Z}$ besitzt.

$\Box$

Grundlegend ist die folgende Aussage.

Satz

Die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ sind irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$.

Beweis

 Nehmen wir an, dass ${}\Phi _{n}$ nicht irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$ ist. Dann gibt es nach Lemma 20.13 eine Zerlegung ${}\Phi _{n}=FG$ mit normierten Polynomen ${}F,G\in \mathbb {Z} [X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}(\zeta )=0$ und daher ist (ohne Einschränkung) ${}F(\zeta )=0$. Wir können annehmen, dass ${}F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von ${}\zeta$ ist.  Wir werden zeigen, dass jede primitive ${}n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von ${}F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen ${}\operatorname {grad} \,(F)={\varphi (n)}=\operatorname {grad} \,(\Phi _{n})$ im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als ${}\zeta ^{k}$ mit einer zu ${}n$ teilerfremden Zahl ${}k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall ${}\zeta ^{p}$ mit einer zu ${}n$ teilerfremden Primzahl ${}p$ zu betrachten, da sich jedes ${}\zeta ^{k}$ sukzessive als ${}p$-Potenz von ${}\zeta$ erhalten lässt (wobei man ${}\zeta$ sukzessive durch ${}\zeta ^{p}$ ersetzt und ${}F{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ verwendet).  Nehmen wir also an, dass ${}F{\left(\zeta ^{p}\right)}\neq 0$ ist. Dann muss ${}G{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ sein. Daher ist ${}\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms ${}G(X^{p})$ und daher gilt ${}FH=G{\left(X^{p}\right)}$ mit ${}H\in \mathbb {Q} [X]$, da ja ${}F$ das Minimalpolynom von ${}\zeta$ ist. Wegen Aufgabe 26.5 gehören die Koeffizienten von ${}H$ zu ${}\mathbb {Z}$. Wir betrachten nun die Polynome ${}\Phi _{n},F,G,H$ modulo ${}p$, also als Polynome in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$, wobei wir dafür ${}{\overline {\Phi _{n}}},{\overline {F}}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik ${}p$ und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt

${}{\overline {G}}(X^{p})={\left({\overline {G}}(X)\right)}^{p}\,.$

Daher ist

${}{\overline {F}}{\overline {H}}={\overline {G}}(X^{p})=({\overline {G}}(X))^{p}\,.$

Es sei nun ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq L$ der Zerfällungskörper von ${}X^{n}-1$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$, sodass über ${}L$ insbesondere auch ${}{\overline {\Phi _{n}}}$ und damit auch ${}{\overline {F}}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei ${}u\in L$ eine Nullstelle von ${}{\overline {F}}$. Dann ist ${}u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von ${}{\overline {G}}$. Wegen ${}{\overline {\Phi _{n}}}={\overline {F}}{\overline {G}}$ ist dann ${}u$ eine mehrfache Nullstelle von ${}{\overline {\Phi _{n}}}$. Damit besitzt auch ${}X^{n}-1$ eine mehrfache Nullstelle in ${}L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber ${}(X^{n}-1)'=(n\mod p)X^{n-1}$ und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht ${}0$. Also erzeugt das Polynom ${}X^{n}-1$ und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach Aufgabe 23.14 keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.

$\Box$

Korollar

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ über ${}\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des ${}n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${}{\varphi (n)}$.

Beweis

Es ist ${}K_{n}=\mathbb {Q} [\zeta ]$, wobei ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist ${}\Phi _{n}(\zeta )=0$ und nach Satz 26.13 ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, sodass es sich um das Minimalpolynom von ${}\zeta$ handeln muss. Also ist nach Satz 21.12 ${}K_{n}\cong \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})$.

$\Box$

Fußnoten

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