Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Warum sind mathematische Beweise schwierig, obwohl sie (zumindest für erststufige Aussagen) aufgrund des Vollständigkeitssatzes mit einem sehr begrenzten und übersichtlichen formalen Regelwerk durchgeführt werden können?

Aufgabe

Diskutiere Metasprache und Objektsprache anhand der Formulierung „im Widerspruch zur Widerspruchsfreiheit“ aus dem Beweis zu Lemma 15.1.

Aufgabe

Unterscheide zwischen den verschiedenen Bedeutungen von Gleichheit.

1. Gleichheit von Elementen in einer Menge.
2. Gleichheit von Zeichenketten.
3. Das Gleichheitssymbol in einer erststufigen Sprache.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet (das mindestens eine Variable enthalte) einer Sprache erster Stufe und ${}T$ die zugehörige Termmenge. Zeige, dass man ${}T$ als Grundmenge einer Interpretation von ${}S$ nehmen kann, indem man Variablen, Konstanten und Funktionssymbole „natürlich“ und Relationssymbole willkürlich interpretiert.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe. Es seien ${}S$- Terme ${}s,t$ mit

$\vdash s=t$

gegeben. Zeige, dass es sich bei ${}s$ und ${}t$ um eine identische Zeichenreihe handelt.

Aufgabe

Es sei ${}\alpha \in L^{S}$ ein atomarer Ausdruck, der zugleich eine Tautologie ist, also ${}\vdash \alpha$. Zeige, dass ${}\alpha$ gleich ${}s=s$ mit einem ${}S$- Term ${}s$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge, die über beliebig großen endlichen Grundmengen erfüllbar ist. Zeige, dass ${}\Gamma$ auch über einer unendlichen Menge erfüllbar ist.

Aufgabe

Man mache sich Gedanken zu den folgenden Zitaten aus Ludwig Wittgensteins Tractatus logico-philosophicus.

„6.2 Die Mathematik ist eine logische Methode. Die Sätze der Mathematik sind Gleichungen, also Scheinsätze. 6.21 Der Satz der Mathematik drückt keinen Gedanken aus“.

„6.22 Die Logik der Welt, die die Sätze der Logik in den Tautologien zeigen, zeigt die Mathematik in den Gleichungen“.

„6.2321 Und, dass die Sätze der Mathematik bewiesen werden können, heißt ja nichts anderes, als dass ihre Richtigkeit einzusehen ist, ohne dass das, was sie ausdrücken, selbst mit den Tatsachen auf seine Richtigkeit hin verglichen werden muss“.

„6.234 Die Mathematik ist eine Methode der Logik.

6.2341 Das Wesentliche der mathematischen Methode ist es, mit Gleichungen zu arbeiten. Auf dieser Methode beruht es nämlich, dass jeder Satz der Mathematik sich von selbst verstehen muss“.

„6.24 Die Methode der Mathematik, zu ihren Gleichungen zu kommen, ist die Substitutionsmethode“. (...)

Wir besprechen den für die Konstruktion eines Modells (zum Satz von Henkin) wichtigen Begriff einer Äquivalenzrelation anhand einiger Aufgaben.

Aufgabe

Wir betrachten die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und eine fixierte natürliche Zahl ${}a\geq 0$. Zeige, dass auf ${}\mathbb {Z}$ durch

$x\sim y,{\text{ wenn die Differenz }}x-y{\text{ ein Vielfaches von }}a{\text{ ist}},$

eine Äquivalenzrelation definiert wird. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf ${}V$, die durch

$v_{1}\sim v_{2}{\text{ genau dann, wenn }}v_{1}-v_{2}\in U$

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Relation auf ${}V$, die durch

$v\sim w,{\text{ falls es ein }}\lambda \in K,\lambda \neq 0,{\text{ mit }}v=\lambda w{\text{ gibt }}$

eine Äquivalenzrelation ist. Was sind die Äquivalenzklassen?

Aufgabe *

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Aufgabe *

Seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Definiere auf ${}M$ eine Relation durch

$f\sim g{\text{ falls }}f(0)=g(0),\,f'(0)=g'(0){\text{ und }}f^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1).$

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Betrachte die Relation ${}R$ auf ${}U$, wobei ${}xRy$ bedeutet, dass es eine stetige Abbildung

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \gamma (t),$

mit ${}\gamma (0)=x$ und ${}\gamma (1)=y$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ${}U$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ mit den Äquivalenzklassen ${}[x]$. Es sei ${}I$ die Menge aller Äquivalenzklassen. Zeige folgende Aussagen.

1. Es ist ${}x\sim y$ genau dann, wenn ${}[x]=[y]$ ist, und dies gilt genau dann, wenn ${}[x]\cap [y]\neq \emptyset$.
2. ${}M=\bigcup _{x\in I}[x]$ ist eine disjunkte Vereinigung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten für je zwei Teilmengen ${}A,B\subseteq \mathbb {N}$ die symmetrische Differenz

${}A\triangle B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,.$

Wir setzen ${}A\sim B$, falls ${}A\triangle B$ endlich ist. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ definiert wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe, ${}T$ die Menge der ${}S$- Terme und ${}I$ eine ${}S$- Interpretation. Zeige, dass auf ${}T$ durch

$s\sim t,{\text{ falls }}I(s)=I(t),$

eine Äquivalenzrelation definiert wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}s,t$ nicht identische ${}S$- Terme. Zeige, dass es ein endliches ${}S$- Modell mit

${}I(s)\neq I(t)\,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine widerspruchsfreie, unter Ableitungen abgeschlossene Ausdrucksmenge ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ derart, dass für die konstruierte Interpretation ${}I$ nicht ${}\Gamma \subseteq I^{\vDash }$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ eine abzählbare widerspruchsfreie Ausdrucksmenge. Zeige, dass ${}\Gamma$ ein erfüllendes Modell mit abzählbar vielen Elementen besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es einen Peano-Halbring ${}M$ mit der Eigenschaft gibt, dass es darin ein Element ${}x\in M$ gibt, das größer als jede natürliche Zahl in ${}M$ (also Zahlen der Form ${}1+1+\cdots +1$) ist.

Tipp=Betrache Ausdrücke der Form ${}x\not =1+1+\cdots +1$.