Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 3
- Übungsaufgaben
Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen , wobei und Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.
Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
Zeige, dass die „beliebte Formel“
nicht gilt, außer im Nullring.
Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.
Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.
Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.
Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.
Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.
- .
- .
- .
Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.
Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.
Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.
Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.
Skizziere die folgenden Teilmengen.
- ,
- ,
- .
a) Berechne
b) Bestimme das inverse Element zu
c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?
Löse die lineare Gleichung
über und berechne den Betrag der Lösung.
Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für
ist
- Es ist genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.
Zeige, dass für eine komplexe Zahl die folgenden Beziehungen gelten.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.
- Es ist .
- Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Für ist .
Unter dem Ring der Gaußschen Zahlen versteht man alle Zahlen der Form
Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen ein Unterring der komplexen Zahlen ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Zeige, dass eine Einheit ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Löse die lineare Gleichung
über und berechne den Betrag der Lösung.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Einheiten im Ring der Gaußschen Zahlen .
Tipp: Verwende den komplexen Betrag.
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