Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 7 3 3 4 3 2 0 0 6 9 3 0 5 3 3 0 57




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die holomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion

    offen.

  2. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  3. Eine exakte Differentialform.
  4. Eine meromorphe Funkton auf einer offenen Menge .
  5. Das Residuum zu einer holomorphen Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe.
  6. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen auf .
  2. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
  3. Der Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.



Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei . Zeige, dass es eine gebrochen-lineare Funktion der Form mit

und mit gibt.





Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, für welche komplexe Zahlen die Reihe

konvergiert.



Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

differenzierbar mit

ist.



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine formale Potenzreihe mit und , die wir als schreiben. Es sei die Potenzreihe mit und . Zeige .



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.



Aufgabe * (9 (5+4) Punkte)

Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.

  1. Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
  2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt für die rationale Funktion .



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien offen und eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten die Faser aus Punkten besteht. Ferner sei ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass eine Überlagerung ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei und sei die Standardumrundung von . Zeige, dass für jeden Punkt die Windungszahl gleich

ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine offene beschränkte einfach zusammenhängende Teilmenge derart, dass der Abschluss nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.



Aufgabe (0 Punkte)