Kurs:Funktionentheorie/3/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 7 | 3 | 3 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0 | 6 | 9 | 3 | 0 | 5 | 3 | 3 | 0 | 57 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die
holomorphe Ableitung
einer reell differenzierbaren Funktion
offen.
- Der
Konvergenzradius
einer komplexen Potenzreihe
- Eine exakte Differentialform.
- Eine meromorphe Funkton auf einer offenen Menge .
- Das Residuum zu einer holomorphen Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe.
- Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen auf .
- Der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
- Der Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass ein wegzusammenhängender metrischer Raum zusammenhängend ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein Körper und sei eine formale Potenzreihe mit und , die wir als schreiben. Es sei die Potenzreihe mit und . Zeige .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
Aufgabe * (9 (5+4) Punkte)
Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und
die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.
- Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
- Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt für die rationale Funktion .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Es seien offen und eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten die Faser aus Punkten besteht. Ferner sei ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass eine Überlagerung ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine offene beschränkte einfach zusammenhängende Teilmenge derart, dass der Abschluss nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.
Aufgabe (0 Punkte)