Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 4 4 5 2 4 2 4 3 5 3 1 4 2 10 62




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  2. Eine winkeltreue Abbildung

    auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.

  3. Der Ring der konvergenten Potenzreihen.
  4. Eine geschlossene Differentialform.
  5. Der Nebenteil zu einer Laurent-Reihe .
  6. Eine Überlagerung zwischen topologischen Räumen.



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit.
  2. Der Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
  3. Der Residuensatz.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige, dass bei die Zahl

eine Quadratwurzel der komplexen Zahl ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit die offene Kreisscheibe in sich abbilden.



Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.



Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.



Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu an.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt . Zeige, dass in das maximale Ideal nicht von (also der Identität) erzeugt wird.



Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei offen und sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug gilt (mit )



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges



Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

in jedem Punkt .



Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere eine „möglichst verrückte“ einfach zusammenhängende offene Teilmenge von .



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und sei

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass keine Überlagerung ist.



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion. Es sei

auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von (mit einer Konstanten ). Zeige, dass

ist.



Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei ein Gebiet und sei eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion kompakt konvergiert. Zeige, dass dann holomorph ist und dass die Folge der Ableitungsfunktionen kompakt gegen konvergiert.