Kurs:Funktionentheorie/7/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 4 | 2 | 10 | 62 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .
- Eine
winkeltreue Abbildung
auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.
- Der Ring der konvergenten Potenzreihen.
- Eine geschlossene Differentialform.
- Der Nebenteil zu einer Laurent-Reihe .
- Eine Überlagerung zwischen topologischen Räumen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit.
- Der Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
- Der Residuensatz.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit die offene Kreisscheibe in sich abbilden.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Körper und der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu an.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt . Zeige, dass in das maximale Ideal nicht von (also der Identität) erzeugt wird.
Aufgabe * (2 Punkte)
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei offen und sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug gilt (mit )
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges
Aufgabe * (5 Punkte)
Wir betrachten die durch
definierte Funktion
Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
gegen konvergiert.
Aufgabe (1 Punkt)
Skizziere eine „möglichst verrückte“ einfach zusammenhängende offene Teilmenge von .
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion. Es sei
auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von (mit einer Konstanten ). Zeige, dass
ist.
Aufgabe * (10 Punkte)
Es sei ein Gebiet und sei eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion kompakt konvergiert. Zeige, dass dann holomorph ist und dass die Folge der Ableitungsfunktionen kompakt gegen konvergiert.