Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/10/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	2	4	2	4	3	4	2	2	4	2	2	5	3	5	2	8	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Disjunktheit von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die Kommutativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$

3. Der Betrag einer ganzen Zahl.
4. Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$.
5. Die gekürzte Darstellung einer rationalen Zahl.
6. Eine streng fallende Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper ${}K$.

Lösung

1. Die Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ${}L\cap M=\emptyset$ ist.
2. Eine Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

   ${}x\circ y=y\circ x\,$

   gilt.

3. Unter dem Betrag ${}\vert {n}\vert$ einer ganzen Zahl ${}n$ versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl ${}-n$, falls ${}n$ negativ ist.
4. Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ ist durch

   ${}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}:={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}\,$

   definiert.

5. Ein Bruch ${}a/b$ heißt gekürzt, wenn ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.
6. Die Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in K$ mit ${}x<x'$ die Abschätzung ${}f(x)>f(x')$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen.
2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
3. Der Satz über die algebraische Struktur von ${}\mathbb {Q}$.

Lösung

1. Auf den natürlichen Zahlen ist durch die Größergleich-Relation ${}\geq$ eine totale Ordnung definiert.
2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
3. Die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.
   1. Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit ${}0$ als neutralem Element. Zu jedem ${}x\in \mathbb {Q}$ gibt es ein ${}y\in \mathbb {Q}$ mit

      ${}x+y=0\,.$

   2. Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit ${}1$ als neutralem Element. Zu jedem ${}z\in \mathbb {Q}$ , ${}z\neq 0$, gibt es ein ${}w\in \mathbb {Q}$ mit

      ${}z\cdot w=1\,.$

   3. Es gilt das Distributivgesetz.

Aufgabe (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von ${}20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
3. Linda engagiert sich bei Attac.

Lösung

(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.

Aufgabe (3 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von ${}20$ Cent begleichen?

Lösung

Wir zählen zunächst die Möglichkeiten, mit den ${}5$-, ${}10$- und ${}20$-Centmünzen die folgenden Beträge darzustellen:

$0{\text{ Cent}}:1{\text{ Möglichkeit}},$

$5{\text{ Cent}}:1{\text{ Möglichkeit}},$

$10{\text{ Cent}}:2{\text{ Möglichkeiten}},$

$15{\text{ Cent}}:2{\text{ Möglichkeiten}},$

$20{\text{ Cent}}:4{\text{ Möglichkeiten}}.$

Dann betrachten wir in jedem Fall, mit wie vielen ${}2$-Centmünzen man jeweils noch unterhalb von ${}20$ Cent bleibt, der verbleibende Rest wird mit ${}1$-Centmünzen aufgefüllt. Hierfür gibt es der Reihe nach

$11,8,6,3,1{\text{ Möglichkeiten}}.$

Diese Möglichkeiten für die Zweier muss man mit den obigen Möglichkeiten multiplizieren, das ergibt insgesamt

${}1\cdot 11+1\cdot 8+2\cdot 6+2\cdot 3+4\cdot 1=11+8+12+6+4=41\,$

Möglichkeiten.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Summe von zwei ungeraden natürlichen Zahlen gerade ist.

Lösung

Wir setzen die beiden ungeraden Zahlen als

${}m=2k+1\,$

und

${}n=2\ell +1\,$

an. Dann ist

${}m+n=(2k+1)+(2\ell +1)=2(k+\ell )+1+1=2(k+\ell )+2=2(k+\ell +1)\,$

gerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Addition auf den natürlichen Zahlen durch die Bedingungen

$x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$

eindeutig bestimmt ist.

Lösung

Die Addition erfüllt nach Lemma 8.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (1, 2) diese Eigenschaften.

Es seien zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}*$ auf ${}\mathbb {N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit

${}x+y=x*y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über ${}y$ (für beliebige ${}x$). Bei

${}y=0\,$

ist wegen

${}x+0=x=x*0\,$

die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes ${}y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung

${}x+y^{\prime }=(x+y)^{\prime }=(x*y)^{\prime }=x*y^{\prime }\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.

Lösung

Der binomische Lehrsatz besagt

${}(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\,.$

Wir setzen ${}a=b=1$. Dann ergibt sich auf der linken Seite

${}(1+1)^{n}=2^{n}\,$

und auf der rechten Seite einfach ${}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von ${}M$ in die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ geben kann.

Lösung

Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung

$F\colon M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto F(x),$

gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir

${}T={\left\{x\in M\mid x\notin F(x)\right\}}\,.$

Da dies eine Teilmenge von ${}M$ ist, muss es wegen der Surjektivität ein ${}y\in M$ geben mit

${}F(y)=T\,.$

Es gibt nun zwei Fälle, nämlich ${}y\in F(y)$ oder ${}y\not \in F(y)$. Im ersten Fall ist also ${}y\in T$, und damit, nach der Definition von ${}T$, auch ${}y\notin F(y)$, Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von ${}T$, ${}y\in T$, und das ist ebenfalls ein Widerspruch.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler ungerade ist. Zeige, dass ${}n$ eine Quadratzahl ist.

Lösung

Wir betrachten die Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}\,$

mit verschiedenen Primzahlen ${}p_{j}$. Die Teiler von ${}n$ sind alle Zahlen mit der Primfaktorzerlegung

$p_{1}^{i_{1}}p_{2}^{i_{2}}\cdots p_{k}^{i_{k}}$

mit ${}0\leq i_{j}=s_{j}$ für alle ${}j$. Somit gibt es

$(s_{1}+1)(s_{2}+1)\cdots (s_{k}+1)$

Teiler von ${}n$. Wenn diese Zahl ungerade ist, so muss jeder Faktor davon ungerade sein und das bedeutet, dass jedes ${}s_{j}$ gerade ist. Man kann also jeweils ${}s_{j}=2r_{j}$ schreiben. Somit ist

${}n=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}=p_{1}^{2r_{1}}p_{2}^{2r_{2}}\cdots p_{k}^{2r_{k}}={\left(p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\right)}^{2}\,$

und ${}n$ ist eine Quadratzahl.

Aufgabe (4 Punkte)

Welche Arten von Gleichungen kennen Sie? Geben Sie typische Beispiele.

Lösung

Siehe hier.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. ${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
2. ${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Lösung

1. Person ${}A$ schläft in seinem Leben insgesamt

   $80\cdot 7\cdot 365$

   Stunden, Person ${}B$ schläft insgesamt

   $70\cdot 8\cdot 365$

   Stunden, sie schlafen also gleich lang. Die Wachzeit der beiden ist

   $80\cdot 17\cdot 365$

   bzw.

   $70\cdot 16\cdot 365,$

   wegen

   ${}8\cdot 17>7\cdot 16\,$

   ist ${}A$ länger wach.

2. Person ${}A$ schläft in seinem Leben insgesamt

   $80\cdot 8\cdot 365$

   Stunden, Person ${}B$ schläft insgesamt

   $70\cdot 7\cdot 365$

   Stunden, Person ${}A$ schläft also insgesamt mehr. Die Wachzeit der beiden ist

   $80\cdot 16\cdot 365$

   bzw,

   $70\cdot 17\cdot 365,$

   wegen

   ${}8\cdot 16=128>119=7\cdot 17\,$

   ist ${}A$ auch länger wach.

Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}8$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.

$(0,0),\,(5,0),\,(0,5),\,(5,5),\,(2,8),\,(2,0),\,(0,2),\,(5,2),\,(0,7),\,(5,7),\,(4,8),\,(4,0),\,(0,4),\,(5,4),\,(1,8),\,(1,0).$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.

Lösung

${}(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung ${}n=kt$ folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass die Primfaktoren von ${}k$ mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in ${}n$ vorkommen müssen.
${}(2)\Rightarrow (1)$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${}t=\prod _{p}p^{{\nu _{p}(n)}-{\nu _{p}(k)}}$ eine natürliche Zahl mit ${}n=kt$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}311$.

Lösung

Die Zahl ist offenbar weder durch ${}2$, noch durch ${}3$ (Quersummentest) noch durch ${}5$ teilbar. Wegen

${}311=308+3=44\cdot 7+3=4\cdot 7\cdot 11+3\,$

ist sie weder durch ${}7$ noch durch ${}11$ teilbar. Wegen

${}311=299+12=23\cdot 13+12\,$

ist sie auch nicht durch ${}13$ teilbar. Wegen

${}311=306+5=18\cdot 17+5\,$

ist sie auch nicht durch ${}17$ teilbar. Wegen

${}19\cdot 19=361>311\,$

muss man größere Primzahlen nicht durchprobieren und somit ist ${}311$ eine Primzahl.

Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Hertha McGillen ist eine renommierte Forscherin über fliegende Fische. Zur Beobachtung hat ihr Team eine Drohne entwickelt, die sowohl oberhalb als auch unterhalb des Meeresspiegels fliegen kann. Bei einem Einsatz startet die Drohne vom Ausgangspunkt auf dem Schiff, der vier Meter oberhalb des Meeresspiegels liegt. Sie steigt zunächst drei Meter in die Höhe, fliegt dann elf Meter nach unten, dann einen Meter nach oben, dann zwei Meter nach unten, dann sechs Meter nach oben, dann fünf Meter nach unten, dann drei Meter nach oben, dann vier Meter nach unten, dann reißt der Funkkontakt ab.

Wie hoch bzw. tief ist die Drohne insgesamt von ihrem Ausgangspunkt aus geflogen und auf welcher Höhe unter- oder oberhalb des Meeresspiegels brach der Kontakt ab? Wie oft ist die Drohne ein- und wie oft aufgetaucht?

Lösung

Die Höhenpositionen der Drohne sind bezogen auf den Meeresspiegel der Reihe nach

$4,\,4+3=7,\,7-11=-4,\,-4+1=-3,\,-3-2=-5,$

$-5+6=1,\,1-5=-4,\,-4+3=-1,\,-1-4=-5.$

Der Kontakt brach also ${}5$ Meter unterhalb des Meeresspiegels ab und insgesamt ist die Drohne ${}9$ Meter tief geflogen. Sie ist zweimal eingetaucht und einmal aufgetaucht.

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Lösung

1. Lucy benötigt ${}25$ Sekunden für den ${}500$ Meter langen Zug.
2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

   ${}{\frac {180000}{3600}}={\frac {1800}{36}}=50\,.$

   Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich ${}70$ Meter pro Sekunde.

3. In den ${}25$ Sekunden legt der Zug

   ${}25\cdot 50=1250\,$

   Meter zurück.

4. Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt

   ${}1250+500=1750\,$

   Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

   ${}25\cdot 70=1750\,$

   Meter.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.

Lösung Wohldefiniertheit/Typisches Beispiel/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien zwei rationale Zahlen ${}x<y$ gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl ${}n$ die rationale Zahl

${}z_{n}:={\frac {x+ny}{1+n}}\,$

echt zwischen ${}x$ und ${}y$ liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen ${}z_{n}$ zueinander?

Lösung

Die Ungleichung

${}x<{\frac {x+ny}{1+n}}\,$

folgt gemäß der Überkreuzungsregel unter Verwendung der Voraussetzung ${}x<y$ aus

${}(1+n)x=x+nx<x+ny\,,$

die Ungleichung

${}{\frac {x+ny}{1+n}}<y\,$

folgt ebenso aus

${}x+ny<y+ny=(1+n)y\,.$

Wir behaupten, dass für

${}n+1>n\,$

die Beziehung

${}z_{n+1}={\frac {x+(n+1)y}{1+n+1}}>{\frac {x+ny}{1+n}}=z_{n}\,$

gilt. Dazu berechnen wir

${}(x+(n+1)y)(1+n)=(1+n)x+n^{2}y+2ny+y\,$

und

${}(x+ny)(2+n)=(2+n)x+n^{2}y+2ny\,.$

Die Differenz des ersten Term zum zweiten Term ist

${}y-x>0\,,$

was die Behauptung bestätigt.

Aufgabe (2 Punkte)

Ist die Zahl

$\sum _{n=1}^{10}{\frac {1}{n}}.$

ein Dezimalbruch?

Lösung

In der Summe sind nur die Brüche

${\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{6}},\,{\frac {1}{7}},\,{\frac {1}{9}}$

keine Dezimalbrüche. Ob die Summe ein Dezimalbruch ist, hängt nur von der Summe dieser Zahlen ab, da die Summe und die Differenz von Dezimalbrüchen wieder ein Dezimalbruch ist. Die Summe der ersten beiden Brüche ist

${}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {2+1}{6}}={\frac {1}{2}}\,,$

also ein Stammbruch. Entscheidend ist also die Summe

${}{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}={\frac {9+7}{63}}={\frac {16}{63}}\,.$

Dieser Bruch ist gekürzt, also liegt kein Dezimalbruch vor.

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion gegenüber Potenzfunktionen.

Lösung

Wir zeigen die Existenz des ${}m$ durch Induktion über ${}k$ für jedes ${}b>0$. Für ${}k=0$ ist die Aussage klar. Sei ${}k=1$. Wir schreiben ${}b=1+u$ mit ${}u>0$ und betrachten (für $n\geq 2$) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit ${}u>0$ beruhende Abschätzung

${}b^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu+{\binom {n}{2}}u^{2}=1+nu+{\frac {n(n-1)}{2}}u^{2}=1+nu+n{\frac {(n-1)}{2}}u^{2}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\,.$

Da ${}{\frac {u^{2}}{2}}$ positiv ist, gibt es nach Lemma 25.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) eine natürliche Zahl ${}m$ mit

${}m{\frac {u^{2}}{2}}\geq 1\,.$

Für ${}n>m$ ist dann

${}b^{n}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\geq n\,,$

wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für ${}k\geq 1$ und alle ${}b>1$ schon bewiesen, und wir müssen sie für ${}k+1$ beweisen. Wir schreiben ${}b=cd$ mit Zahlen

${}c,d>1\,,$

die es nach Aufgabe 24.20 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl ${}m$ derart, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

${}c^{n}\geq n^{k}\,$

gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl ${}m'$ mit der Eigenschaft, dass für alle ${}n\geq m'$ die Abschätzung

${}d^{n}\geq n\,$

gilt. Damit gilt für alle

${}n\geq \operatorname {max} (m,m')\,$

die Abschätzung

${}b^{n}=(cd)^{n}=c^{d}d^{n}\geq n^{k}n=n^{k+1}\,.$