Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/5/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	2	4	3	3	4	3	4	2	3	7	4	3	6	63

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein affiner Unterraum ${}S\subseteq K^{n}$.
2. Die Elementarmatrizen.
3. Die Antisymmetrie einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
4. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
5. Eine irrationale Zahl.
6. Der Logarithmus zu einer reellen Basis ${}b>0$, ${}b\neq 1$.

Lösung

1. Die Teilmenge ${}S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn ${}S$ leer ist oder es einen Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt ${}P\in K^{n}$ mit

   ${}S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$

   gibt.

2. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$- Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
   1. ${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
   2. ${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
   3. ${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
3. Die Relation ${}R$ heißt antisymmetrisch, wenn aus ${}xRy$ und ${}yRx$ stets ${}x=y$ folgt.
4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus ${}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$.
6. Der Logarithmus zur Basis ${}b$ ist die Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.

Lösung

1. Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn ${}n$ eine Primzahl ist.
2. Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper ${}\mathbb {R} _{1}$ und ${}\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Lösung

Durch Umnummerieren kann man ${}x=x_{1}$ erreichen. Es sei ${}G$ die Gleichung

${}ax_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}x_{i}=b\,$

(mit $a\neq 0$) und ${}H$ die Gleichung

${}cx_{1}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}x_{i}=d\,.$

Dann hat die Gleichung

${}H'=H-{\frac {c}{a}}G\,$

die Gestalt

${}\sum _{i=2}^{n}{\left(c_{i}-{\frac {c}{a}}a_{i}\right)}x_{i}=d-{\frac {c}{a}}b\,,$

in der ${}x_{1}$ nicht mehr vorkommt. Wegen ${}H=H'+{\frac {c}{a}}G$ sind die Gleichungssysteme äquivalent.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,$

aber

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen und sei

$f\colon M\longrightarrow N$

eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

$s\colon N\longrightarrow M$

mit

${}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$

gibt es?

Lösung

Die Elemente aus ${}N$ seien mit ${}1,2,\ldots ,n$ bezeichnet. Zu jedem ${}i\in N$ sei

${}M_{i}={\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\,$

und

${}m_{i}={\#\left(M_{i}\right)}={\#\left({\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\right)}\,$

die Anzahl der Elemente aus ${}M$, die auf ${}i$ abgebildet werden. Wegen der Surjektivität ist stets ${}m_{i}\geq 1$. Da

${}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$

gelten soll, muss ${}s(i)\in M_{i}$ für jedes ${}i$ gelten. Somit gibt es

$m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}$

Möglichkeiten für solche Abbildungen.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}&={\frac {1}{10}}-{\frac {4}{15}}{\sqrt {3}}-{\frac {3}{28}}{\sqrt {3}}+{\frac {2}{7}}\cdot {\sqrt {3}}^{2}\\&={\frac {1}{10}}+{\frac {6}{7}}-{\left({\frac {4}{15}}+{\frac {3}{28}}\right)}{\sqrt {3}}\\&={\frac {7+60}{70}}-{\frac {112+45}{420}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {67}{70}}-{\frac {157}{420}}{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

${}x'=2^{-1}\cdot {\left(x+{\frac {c}{x}}\right)}\,$

des Heron-Verfahrens in ${}\mathbb {Z} /(7)$ für ${}c=3$. Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.

Lösung

Für ${}x=0$ ist der Ausdruck sicher nicht definiert. Für alle anderen Stellen berechnen wir

${}f(x)=2^{-1}{\left(x+{\frac {3}{x}}\right)}=4{\left(x+{\frac {3}{x}}\right)}\,.$

Dabei ergibt sich die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}f(x)$	${}2$	${}0$	${}2$	${}5$	${}0$	${}5$

Daraus erkennt man, dass spätestens ${}x_{2}=0$ ist, so dass ${}x_{3}$ nicht definiert ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K_{+}$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Lösung

Bei ${}x_{0}=1$ ist die Folge konstant gleich ${}1$, da ja ${}1$ das inverse Element zu ${}1$ ist. Diese Folge konvergiert. Für jeden anderen Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$, ${}x_{0}\neq 1$, konvergiert die Folge nicht. Wegen

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$

wechseln sich in der Folge ${}x_{0}$ und ${}{\left(x_{0}\right)}^{-1}$ ab, und bei positivem ${}x_{0}\neq 1$ sind dies verschiedene Werte. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Lösung

Es seien ${}x$ bzw. ${}y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$

ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein ${}n_{0}'$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}'$ die Abschätzung

${}\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$

gilt. Sei

${}N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$

Dann gilt für alle ${}n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit ${}0\neq 1$ und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Lösung

Es seien ${}a,b\in K$ vorgegeben, und sei angenommen, dass ${}\varphi (a)=\varphi (b)$ ist. Dann ist

${}\varphi (a-b)=\varphi (a)-\varphi (b)=0\,.$

Wenn ${}a-b\neq 0$ wäre, so wäre dies eine Einheit, d.h. es gäbe ein ${}x\in K$ mit ${}x(a-b)=1$. Dann wäre

${}\varphi (x)0=\varphi (x)\varphi (a-b)=\varphi (x(a-b))=\varphi (1)=1\,.$

Aus ${}\varphi (x)0=\varphi (x)(0+0)=\varphi (x)0+\varphi (x)0$ folgt daraus ${}\varphi (x)0=0$, also ${}0=1$ im Widerspruch zur Voraussetzung an ${}R$. Also ist ${}a-b=0$ und ${}a=b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$1{,}{\overline {4211}}$

gegeben ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}1{,}{\overline {4211}}&=1+0{,}{\overline {4211}}\\&=1+4211\cdot 0{,}{\overline {0001}}\\&=1+4211\cdot {\frac {1}{9999}}\\&={\frac {9999+4211}{9999}}\\&={\frac {14210}{9999}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt ${}c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

Lösung

Bei konstantem Flächeninhalt ${}c$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge ${}s\neq 0$ bestimmt, die andere Seitenlänge ist ${}{\frac {c}{s}}$ und der Umfang ist ${}2{\left(s+{\frac {c}{s}}\right)}$. Für das Quadrat ist

${}s={\frac {c}{s}}={\sqrt {c}}\,$

mit Umfang ${}4{\sqrt {c}}$. Es ist also

${}2{\sqrt {c}}\leq s+{\frac {c}{s}}\,$

zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

${}4c\leq s^{2}+{\left({\frac {c}{s}}\right)}^{2}+2c\,$

und zu

${}0\leq s^{2}+{\left({\frac {c}{s}}\right)}^{2}-2c\,$

bzw. zu

${}s^{4}+c^{2}-2cs^{2}\geq 0\,,$

was wegen

${}s^{4}+c^{2}-2cs^{2}=(s^{2}-c)^{2}\geq 0\,$

erfüllt ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Lösung

Der Grad ist ${}11$, der Leitkoeffizient ist ${}7$, der Leitterm ist ${}7X^{11}$ und der Koeffizient zu ${}X^{5}$ ist ${}0$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 2$, für welches

$f(1)=10,\,f(-2)=1,\,f(3)=16$

gilt.

Lösung

Mit dem Ansatz

${}f=aX^{2}+bX+c\,$

gelangen wir zum linearen Gleichungssystem

${}a+b+c=10\,,$

${}4a-2b+c=1\,,$

${}9a+3b+c=16\,.$

Die Gleichungen ${}II-I$ und ${}III-I$ sind

${}3a-3b=-9\,$

und

${}8a+2b=6\,.$

Daraus ergibt sich (${}2II'+3III'$)

${}30a=0\,,$

also

${}a=0\,.$

Daraus ergibt sich

${}b=3\,$

und

${}c=7\,.$

Es ist also

${}f=3X+7\,.$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen ${}x$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(x)$ konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Es sei (1) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R}$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$

ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

so dass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in \mathbb {R}$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als ${}\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}x_{n}\in \mathbb {R}$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen

${}1{,}8\leq 2^{\frac {9}{10}}\leq 1{,}9\,.$

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

${}1{,}8^{10}\leq 2^{9}=512\leq 1{,}9^{10}\,.$

nach. Diese gelten wegen

${}{\begin{aligned}1{,}8^{10}&=3{,}24^{5}\\&=(3{,}24^{2})^{2}\cdot 3{,}24\\&=10{,}4976^{2}\cdot 3{,}24\\&\leq 121\cdot 4\\&=484\\&<512\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}1{,}9^{10}&=3{,}61^{5}\\&=(3{,}61^{2})^{2}\cdot 3{,}61\\&=13{,}0321^{2}\cdot 3{,}61\\&>169\cdot 3{,}6\\&=608{,}4\\&>512.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Lösung

Die Standardparabel ist durch die Gleichung

${}y=x^{2}\,$

und der Einheitskreis ist durch die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung ${}x^{2}$ in der zweiten Gleichung und erhalten

${}y^{2}+y-1=0\,.$

Also ist

${}y={\frac {-1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\,.$

Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist

${}y={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$

und

${}x=\pm {\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,.$

Die beiden Schnittpunkte sind also ${}\left(-{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$ und ${}\left({\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt ${}0$. Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position ${}6$ befindet?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand ${}5$ besitzt?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?

Lösung

1. Damit Lucy sich zum Schluss in der Position ${}6$ befindet, muss sie viermal nach rechts und einmal nach links gesprungen sein. Dafür gibt es ${}5$ Möglichkeiten, je nachdem, wann sie den Sprung nach links gemacht hat. Da es insgesamt ${}2^{5}=32$ Sprungkombinationen für Lucy gibt, befindet sie sich mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {5}{32}}$ zum Schluss in der Position ${}6$.
2. Veronika besitzt zum Schluss vom Nullpunkt den Abstand ${}5$ genau dann, wenn sie sich in der Position ${}5$ oder der Position ${}-5$ befindet. Dazu muss sie entweder jeden Sprung nach rechts oder jeden Sprung nach links machen. Dies ergibt ${}2$ Möglichkeiten, daher ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich ${}{\frac {2}{32}}={\frac {1}{16}}$.
3. Da Lucy stets Sprünge der Länge ${}2$ ausführt, befindet sie sich stets und insbesondere zum Schluss in einer geraden Position. Die Position von Veronika hat die Form ${}i-j$ mit

   ${}i+j=5\,,$

   wobei ${}i$ die Anzahl ihrer Sprünge nach rechts und ${}j$ die Anzahl ihrer Sprünge nach links bezeichnet. Es ist dann

   ${}i-j=5-j-j=5-2j\,$

   und dies ist stets ungerade. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Lucy und Veronika nach fünf Sprüngen in der gleichen Position befinden, ist also gleich ${}0$.