Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 20

Beweis der Hinrichtung

Wir kommen zum Beweis der Hinrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd, d.h. wir zeigen, dass eine Spiegelungsgruppe einen Polynomring als Invariantenring besitzt. Wir werden wiederholt mit partiellen formalen Ableitungen arbeiten. Diese verhalten sich wie die üblichen partiellen Ableitungen über ${}\mathbb {R}$ oder über ${}{\mathbb {C} }$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem Polynom

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

und ${}i$, ${}1\leq i\leq n$, heißt das Polynom

${}\partial _{i}F:={\frac {\partial F}{\partial X_{i}}}:=\sum _{\nu }\nu _{i}a_{\nu }X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}X_{i}^{\nu _{i}-1}X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

die formale partielle Ableitung von ${}F$ nach ${}X_{i}$.

Wir beweisen nun die Hinrichtung.

Beweis

Wir betrachten das Ideal ${}I_{G}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, das von allen homogenen invarianten Polynomen positiven Grades erzeugt wird. Es sei ${}I_{G}=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ ein homogenes minimales Erzeugendensystem für dieses Ideal. Aufgrund von Lemma 12.6 bilden diese ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Algebraerzeugendensystem von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$. Wir zeigen, dass die ${}f_{i}$ algebraisch unabhängig sind und nehmen an, dass ${}g(f_{1},\ldots ,f_{m})=0$ ist mit ${}g\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$, ${}g\neq 0$, ist. Es sei dabei ${}g$ von minimalem Grad.

Das Monom ${}Y^{\nu }$ aus ${}g$ wird nach Einsetzen zu ${}f^{\nu }$, was ein homogenes Polynom vom Grad ${}\sum _{i}\nu _{i}\operatorname {grad} \,(f_{i})$ ist. Wir können daher annehmen, dass alle Monome, die in ${}g(f_{1},\ldots ,f_{m})$ vorkommen, den gemeinsamen Grad ${}d$ haben (die Monome, die zu einem anderen Grad führen, werden einfach weggelassen).

Wir betrachten

${}g_{i}:={\frac {\partial g}{\partial y_{i}}}(f_{1},\ldots ,f_{m})\,,$

die zum Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ gehören. Die ${}g_{i}$ sind ${}0$ oder sie haben den Grad ${}d-\operatorname {grad} \,(f_{i})$. Da ${}g(y_{1},\ldots ,y_{m})$ nicht konstant ist, ist

${}{\frac {\partial g}{\partial y_{i}}}{\left(y_{1},\ldots ,y_{m}\right)}\neq 0\,$

für zumindest ein ${}i$, da wir Charakteristik ${}0$ voraussetzen. Dann muss auch ${}g_{i}\neq 0$ für ein ${}i$ sein, da ${}g$ nach Annahme minimalen Grad besitzt.

Wir betrachten das Ideal ${}J=(g_{1},\ldots ,g_{m})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, und sei nach Umnummerierung ${}k$ (${}\geq 1$) so gewählt, dass

${}J=(g_{1},\ldots ,g_{k})\,$

ist, aber keine echte Teilmenge davon dieses Ideal erzeugt. Für ${}i>k$ schreiben wir

${}g_{i}=\sum _{j=1}^{k}h_{ij}g_{j}\,,$

wobei ${}h_{ij}=0$ ist oder aber homogen vom Grad ${}\operatorname {grad} \,(g_{i})-\operatorname {grad} \,(g_{j})=\operatorname {grad} \,(f_{j})-\operatorname {grad} \,(f_{i})$. Es folgt

${}{\begin{aligned}0&={\frac {\partial }{\partial x_{s}}}{\left(g{\left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}\\&=\sum _{i=1}^{k}g_{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}+\sum _{i=k+1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{k}h_{ij}g_{j}\right)}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}\\&=\sum _{i=1}^{k}g_{i}{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}{\left(h_{ji}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Wegen ${}g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{k})$ gehört für jedes ${}s$ das homogene Element

${\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}$

nach Lemma 19.12 zu ${}I_{G}$. Daraus ergibt sich durch Multiplikation mit ${}x_{s}$

${}{\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n}x_{s}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}\sum _{s=1}^{n}x_{s}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}&=(\operatorname {grad} \,(f_{1}))f_{1}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}{\left(\operatorname {grad} \,(f_{j})\right)}f_{j}\\&\in (x_{1},\ldots ,x_{n})I_{G}\\&\subseteq {\left(x_{1}f_{1},\ldots ,x_{n}f_{1}\right)}+{\left(f_{2},\ldots ,f_{m}\right)}.\end{aligned}}$

Die hinteren Summanden in diesem Polynom gehören zu ${}(f_{2},\ldots ,f_{m})$, daher ist

$f_{1}\in {\left(x_{1}f_{1},\ldots ,x_{n}f_{1}\right)}+{\left(f_{2},\ldots ,f_{m}\right)}.$

Aus Gradgründen ist ${}f_{1}\in (f_{2},\ldots ,f_{m})$, was ein Widerspruch zur Minimalität des Idealerzeugendensystems von ${}I_{G}$ ist.

$\Box$

Laurent-Entwicklung der Hilbert-Reihe

Wir wenden uns nun der Rückrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd zu. Zuerst erinnern wir an die Laurent-Entwicklung. Eine rationale Funktion besitzt eine Laurent-Entwicklung

${}Q(z)={\frac {F(z)}{G(z)}}=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}z^{i}\,,$

wobei ${}k$ eine eventuell negative Zahl ist. Ist ${}a_{k}\neq 0$ und ${}k$ minimal und negativ, so heißt ${}-k$ die Polstellenordnung (${\frac {1}{z^{k}}}$ hat einen Pol der Ordnung ${}k$).

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Es sei ${}G\subset \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe und sei ${}r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${}G$.

Dann ist die Laurent-Entwicklung der Hilbert-Reihe des Invariantenringes um ${}z=1$ gleich

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}(1-z)^{-n}+{\frac {r}{2{\#\left(G\right)}}}(1-z)^{-n+1}+\ldots \,.$

Beweis

Nach der Molien-Formel ist

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}\,.$

Die Summanden haben die Gestalt

${}{\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}={\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\frac {1}{(1-z\xi _{\sigma ,1})}}\cdots {\frac {1}{(1-z\xi _{\sigma ,n})}}\,,$

wobei die ${}\xi _{\sigma ,j}$ die Eigenwerte (mit Wiederholungen) von ${}\sigma$ seien. Für ${}\sigma =\operatorname {Id}$ hat der entsprechende Summand in ${}z=1$ einen Pol der Ordnung ${}n$. Für ${}\sigma \neq \operatorname {Id}$ haben die Summanden an ${}z=1$ einen Pol von maximaler Ordnung ${}n-1$. Diese Maximalität tritt genau dann ein, wenn der Eigenwert ${}1$ die Vielfachheit ${}n-1$ besitzt, wenn also ${}\sigma$ eine Pseudoreflektion ist. In diesem Fall ist

${}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}={\frac {1}{(1-z)^{n-1}}}\cdot {\frac {1}{\left(1-z\det \sigma \right)}}\,,$

da bei einer Pseudoreflektion der andere Eigenwert gleich der Determinante ist. Daher ist der Koeffizient zu ${}(1-z)^{-n+1}$ in der Laurent-Entwicklung gleich

${\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\frac {1}{1-\det \sigma }}$

(im hinteren Faktor wird $z=1$ gesetzt). Das Inverse einer Pseudoreflektion ist ebenfalls eine Pseudoreflektion, daher ist

${}{\begin{aligned}2\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\frac {1}{1-\det \sigma }}&=\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\left({\frac {1}{1-\det \sigma }}+{\frac {1}{1-{\left(\det \sigma \right)}^{-1}}}\right)}\\&=\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}1\\&=r.\end{aligned}}$

$\Box$

Beweis der Rückrichtung

Wir beweisen nun die Rückrichtung des Satzes von Chevalley-Sheppard-Todd, dass also ein algebraisch unabhängiges Algebraerzeugendensystem nur bei einer Reflektionsgruppe vorliegen kann. Die Strategie ist, die von den Pseudoreflektionen erzeugte Untergruppe ${}H\subseteq G$ zu untersuchen und dabei letztlich auf ${}H=G$ zu schließen.

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Gruppe derart, dass der zugehörige Invariantenring von ${}n$ algebraisch unabhängigen homogenen Invarianten ${}\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}$ erzeugt werde. Es sei ${}d_{i}=\operatorname {grad} \,(\theta _{i})$ und ${}r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${}G$.

Dann ist

$\vert {G}\vert =d_{1}\cdots d_{n}{\text{ und }}r=d_{1}+\cdots +d_{n}-n.$

Beweis

Nach Lemma 19.2 ist

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{(1-z^{d_{1}})}}\cdots {\frac {1}{(1-z^{d_{n}})}}\,.$

Wegen ${}1-z^{d}=(1-z){\left(1+z+\cdots +z^{d-1}\right)}$ ist dies gleich

${\frac {1}{(1-z)^{n}}}\cdot {\frac {1}{1+z+\cdots +z^{d_{1}-1}}}\cdots {\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d_{n}-1}}}.$

Der Bruch ${}{\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d-1}}}$ hat um ${}z=1$ die Potenzreihenentwicklung

${\frac {1}{d}}-{\frac {d-1}{2d}}(z-1)+\ldots ,$

was sich durch Einsetzen und Ableiten ergibt. Die Laurent-Entwicklung um ${}z=1$ ergibt sich durch Einsetzen zu

$\Phi _{G}(z)={\frac {1}{d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n}+{\frac {d_{1}+\cdots +d_{n}-n}{2d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n+1}+\ldots \,.$

Der Vergleich mit Lemma 20.2 ergibt die Behauptung.

$\Box$

Wir beweisen nun die Rückrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd.

Beweis

Es sei

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}]\,$

mit ${}\theta _{i}$ algebraisch unabhängig, und es sei ${}\operatorname {grad} \,(\theta _{i})=d_{i}$. Es sei ${}H\subseteq G$ die durch alle Pseudoreflektionen erzeugte Untergruppe. Aufgrund der Hinrichtung des Satzes von Chevalley-Shephard-Todd wissen wir bereits

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{H}=K[\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}]\supseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\,$

mit ${}\operatorname {grad} \,(\psi _{j})=e_{j}$ und ${}\psi _{j}$ algebraisch unabhängig. Jedes ${}\theta _{i}$ ist ein Polynom in den ${}\psi _{j}$. Wir können annehmen, dass beide Polynomfamilien nach aufsteigendem Grad geordnet sind, es ist also ${}d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{n}$ und ${}e_{1}\leq e_{2}\leq \ldots \leq e_{n}$. Dabei muss

${}e_{i}\leq d_{i}\,$

für alle ${}i$ gelten, da andernfalls nach Aufgabe 20.12

${}K[\theta _{1},\ldots ,\theta _{i}]\subseteq K[\psi _{1},\ldots ,\psi _{i-1}]\,$

gelten würde, was aber wegen der algebraischen Unabhängigkeit der Familien nicht sein kann. Es sei ${}r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${}G$ und in ${}H$. Nach Korollar 20.3 ist

${}r=\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)=\sum _{i=1}^{n}(e_{i}-1)\,.$

Daher muss ${}e_{i}=d_{i}$ gelten. Damit ist aber

${}\vert {G}\vert =d_{1}\cdots d_{n}=e_{1}\cdots e_{n}=\vert {H}\vert \,$

und damit

${}H=G\,.$

$\Box$

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