Kurs:Körper- und Galoistheorie/13/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	4	0	2	3	0	3	0	0	0	7	4	4	4	3	2	3	48

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe ${}G$.
3. Eine algebraische Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Ein vollkommener Körper.
6. Eine auflösbare Gruppe ${}G$.

Lösung

1. Ein Element ${}u$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.
2. Ein Automorphismus

   $G\longrightarrow G$

   der Form ${}x\mapsto gxg^{-1}$ zu einem festen Element ${}g\in G$ heißt innerer Automorphismus.

3. Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit ${}P(z)=0$.
4. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller ${}K$- Algebra-Automorphismen von ${}L$, also

   $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$

5. Ein Körper ${}K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${}P\in K[X]$ separabel ist.
6. Eine Gruppe ${}G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

   $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G$

   gibt derart, dass ${}G_{i}$ ein Normalteiler in ${}G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe ${}G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes $i=0,\ldots ,k-1$).

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik ${}\neq 2$.
2. Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
3. Die Klassengleichung.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein ${}x\in L$ , ${}x\notin K$ und ${}x^{2}\in K$.
2. Sei ${}K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

   ${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

3. Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und seien ${}K_{1},\ldots ,K_{r}$ die Konjugationsklassen von ${}G$ mit mindestens zwei Elementen. Dann ist

   ${}\operatorname {ord} _{}^{}{\left(G\right)}=\operatorname {ord} _{}^{}{\left(Z(G)\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\#\left(K_{i}\right)}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei ${}c\neq 0$ fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung

${}x*y:={\frac {xy}{c}}\,$

ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation ${}*$?

Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto cx.$

Da dies eine lineare bijektive Funktion ist, wird die Addition in die Addition übersetzt. Wegen ${}\varphi (1)=c$ und

${}\varphi (xy)=cxy={\frac {cxcy}{c}}=(cx)*(cy)=\varphi (x)*\varphi (y)\,$

wird die übliche Multiplikation auf ${}\mathbb {Q}$ in die neue Multiplikation ${}*$ übersetzt. Daher übertragen sich sämtliche algebraischen Eigenschaften von ${}(\mathbb {Q} ,0,1,+,\cdot )$ auf ${}(\mathbb {Q} ,0,c,+,*)$ und es liegt ein Körper mit ${}c$ als neutralem Element für ${}*$ vor.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Lösung

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

${}[x][y]=[xy]\,$

gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf ${}G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass ${}[xy]=[x'y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=xh$ und $hy'={\tilde {h}}y=yh'$ mit ${}h,{\tilde {h}},h'\in H$ schreiben. Damit ist

${}x'y'=(xh)y'=x(hy')=x(yh')=xyh'\,.$

Somit ist ${}[xy]=[x'y']$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf ${}G/H$ folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}p,q$ verschiedene Primzahlen und

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=:L\,$

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element ${}a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\in L$ bezüglich der Basis ${}1,{\sqrt {p}},{\sqrt {q}},{\sqrt {pq}}$.

Lösung

Es ist

${}{\left(a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\right)}\cdot {\sqrt {p}}=a{\sqrt {p}}+pb+c{\sqrt {pq}}+pd{\sqrt {q}}\,,$

${}{\left(a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\right)}\cdot {\sqrt {q}}=a{\sqrt {q}}+b{\sqrt {pq}}+qc+qd{\sqrt {p}}\,$

und

${}{\left(a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\right)}\cdot {\sqrt {pq}}=a{\sqrt {pq}}+pb{\sqrt {q}}+qc{\sqrt {p}}+pqd\,.$

Somit ist die Multiplikatiosmatrix gleich

${\begin{pmatrix}a&pb&qc&pqd\\b&a&qd&qc\\c&pd&a&pb\\d&c&b&a\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm

$N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}N(fg)=N(f)N(g)$.
2. Für ${}f\in K$ ist ${}N(f)=f^{n}$, wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist ${}N(f)=0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.

Lösung

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Lemma 8.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
2. Zu einer beliebigen Basis von ${}L$ wird die Multiplikation mit einen Element ${}f\in K$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
3. Die eine Richtung ist klar, sei also ${}f\neq 0$. Dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}L$ und daher ist die Multiplikation mit ${}f$ eine bijektive ${}K$-lineare Abbildung ${}L\rightarrow L$, und deren Determinante ist ${}\neq 0$ nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, das auch ${}M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.

Lösung

Es sei ${}x\in L$ mit dem Minimalpolynom ${}F\in K[X]$, das nach Voraussetzung separabel ist. Es sei ${}G\in M[X]$ das Minimalpolynom zu ${}x$, aufgefasst in der Körpererweiterung ${}M\subseteq L$. Wegen ${}F(x)=0$ gilt in ${}M[X]$ die Beziehung ist ${}F\in (G)$, d.h. es gibt ein ${}H\in M[X]$ mit

${}F=GH\,.$

Da ${}F$ in jedem Erweiterungskörper von ${}K$ nur einfache Nullstellen besitzt, gilt dies auch für den Teiler ${}G$ und damit ist auch ${}G$ separabel.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

1. Bestimme die Zerlegung von ${}X^{4}-7$ in ${}{\mathbb {C} }$.
2. Bestimme den Zerfällungskörper ${}L$ von ${}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]$.
3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.
4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von ${}X^{4}-7$ von der Galoisgruppe herrühren.

Lösung

1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung

   ${}{\begin{aligned}X^{4}-7&={\left(X-{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}\\&={\left(X^{2}-{\sqrt {7}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {7}}\right)},\end{aligned}}$

   wobei ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ die positive reelle vierte Wurzel der ${}7$ bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der ${}7$ vorkommen.
2. Die vier Nullstellen aus Teil (1) müssen zum Zerfällungskörper ${}L$ gehören, daher ist insbesondere

   ${}{\frac {{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}}{\sqrt[{4}]{7}}}={\mathrm {i} }\,$

   ein Element von ${}L$. Es ist also

   ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]\,.$

3. Das Polynom ${}X^{4}-7$ ist irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$, da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}\mathbb {Q} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   die horizontalen Erweiterungen den Grad ${}4$ und die vertikalen Erweiterungen den Grad ${}2$ (da ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]$ reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad ${}8$.

4. Ein ${}\mathbb {Q}$-Automorphismus sendet ${}{\mathrm {i} }$ auf sich selbst oder auf ${}-{\mathrm {i} }$. Im ersten Fall handelt es sich um einen ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$-Automorphismus. Diese schauen wir zuerst an. Unter einem solchen Automorphismus kann ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ auf jede andere Nullstelle von ${}X^{4}-7$ abgebildet werden, dadurch ist dann alles festgelegt. Dies führt zu den Permutationen

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$

   Wenn ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}-{\mathrm {i} }$ abgebildet wird, so kann ebenfalls ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ auf jede andere Nullstelle von ${}X^{4}-7$ abgebildet werden. Dies führt zu den Permutationen

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.

Lösung

Wenn es einen ${}K$-Automorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$ gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus ${}K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von ${}\alpha$ bzw. ${}\beta$ festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind ${}\alpha$ und ${}\beta$ konjugiert.
Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen ${}K$-Isomorphismus ${}K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Mit der Inklusion ${}K[\beta ]\subseteq L$ führt dies zu einem ${}K$-Homomorphismus

$K[\alpha ]\longrightarrow L,$

den man nach Korollar 15.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu einem Automorphismus auf ${}L$ fortsetzen kann.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper ${}K_{5}$ mit der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$, wobei ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ ist.

1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu ${}\zeta ^{i}$, ${}i=0,1,2,3$, bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )$ bezüglich dieser Basis.

Lösung

1. Für ${}i=0$ ist die beschreibende Matrix gleich

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},$

   für ${}i=1$ ist die beschreibende Matrix gleich

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&-1\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\end{pmatrix}},$

   für ${}i=2$ ist die beschreibende Matrix gleich

   ${\begin{pmatrix}0&0&-1&1\\0&0&-1&0\\1&0&-1&0\\0&1&-1&0\end{pmatrix}},$

   für ${}i=3$ ist die beschreibende Matrix gleich

   ${\begin{pmatrix}0&-1&1&0\\0&-1&0&1\\0&-1&0&0\\1&-1&0&0\end{pmatrix}}.$

2. Die Identität wird durch

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

   beschrieben. Der Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{2}$ schickt ${}\zeta ^{2}$ auf

   ${}\zeta ^{4}=-1-\zeta -\zeta ^{2}-\zeta ^{3}\,$

   und ${}\zeta ^{3}$ auf

   ${}\zeta ^{6}=\zeta \,.$

   Die beschreibende Matrix ist also

   ${\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&-1&1\\0&1&-1&0\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}.$

   Der Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{3}$ schickt ${}\zeta ^{2}$ auf

   ${}\zeta ^{6}=\zeta \,$

   und ${}\zeta ^{3}$ auf

   ${}\zeta ^{9}=\zeta ^{4}=-1-\zeta -\zeta ^{2}-\zeta ^{3}\,.$

   Die beschreibende Matrix ist also

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&-1\\0&1&0&-1\end{pmatrix}}.$

   Der Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{4}$ schickt ${}\zeta ^{2}$ auf

   ${}\zeta ^{8}=\zeta ^{3}\,$

   und ${}\zeta ^{3}$ auf

   ${}\zeta ^{12}=\zeta ^{2}\,.$

   Die beschreibende Matrix ist also

   ${\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&-1&0&0\\0&-1&0&1\\0&-1&1&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{12}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}X^{12}-1&={\left(X^{6}-1\right)}{\left(X^{6}+1\right)}\\&=\Phi _{1}\cdot \Phi _{2}\cdot \Phi _{3}\cdot \Phi _{4}\cdot \Phi _{6}\cdot \Phi _{12}.\end{aligned}}$

Wegen

${}X^{6}-1=\Phi _{1}\cdot \Phi _{2}\cdot \Phi _{3}\cdot \Phi _{6}\,$

muss also

${}X^{6}+1=\Phi _{4}\cdot \Phi _{12}={\left(X^{2}+1\right)}\cdot \Phi _{12}\,.$

Polynomdivision ergibt

${}\Phi _{12}=X^{4}-X^{2}+1\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte ${}M,P$ in der Ebene gegeben. Es bezeichne ${}K$ den Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ durch den Punkt ${}P$. Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis ${}K$ durch ${}P$. Skizziere die Situation.

Lösung

Wir zeichnen den Kreis ${}C$ mit Mittelpunkt ${}P$ durch den Punkt ${}M$. Die Verbindungsgerade ${}G$ durch ${}M$ und ${}P$ hat mit ${}C$ (neben ${}M$) noch einen weiteren Schnittpunkt, den wir mit ${}S$ bezeichnen. Wir zeichnen Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ mit Mittelpunkt ${}S$ durch ${}M$ und mit Mittelpunkt ${}M$ durch ${}S$. Die beiden Schnittpunkte von ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ definieren eine Gerade ${}H$, und diese verläuft durch ${}P$ und steht senkrecht auf ${}G$ (${}H$ ist die halbierende Senkrechte der Strecke von ${}M$ nach ${}S$), sodass ${}H$ die Tangente an ${}P$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

$z^{2}-3z{\sqrt {w}}+{\sqrt {z+w^{2}}}-{\frac {5}{7}}+4{\sqrt {{\sqrt {z}}+w}}+{\sqrt {11}}$

konstruierbar ist.

Lösung

Da rationale Zahlen konstruierbar sind, ist ${}{\frac {5}{7}}$ konstruierbar. Mit jeder konstruierbaren reellen Zahl ist auch die Quadratwurzel konstruierbar. Also sind ${}{\sqrt {11}},{\sqrt {w}}$ konstruierbar. Da die Summe und das Produkt von konstruierbaren Zahlen wieder konstruierbar ist, sind auch ${}z^{2},-3z{\sqrt {w}},{\sqrt {z+w^{2}}}$ und ${}{\sqrt {z}}+w$ konstruierbar. Damit ist auch ${}4{\sqrt {{\sqrt {z}}+{\sqrt {w}}}}$ konstruierbar und damit ist die Summe dieser Ausdrücke konstruierbar.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen ${}U$ und ${}V$)

${}P={\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\,,$

${}Q={\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\,$

und

${}R={\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\,$

die Relation

${}P^{2}+Q^{3}+R^{5}=0\,$

erfüllen.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}P^{2}+Q^{3}+R^{5}&={\left({\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\right)}^{3}+{\left({\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\right)}^{5}\\&={\frac {U^{30}}{(1+V)^{14}V^{6}}}+{\frac {-U^{30}}{(1+V)^{15}V^{6}}}+{\frac {-U^{30}}{(1+V)^{15}V^{5}}}\\&={\frac {U^{30}}{(1+V)^{14}V^{5}}}{\left({\frac {1}{V}}-{\frac {1}{(1+V)V}}-{\frac {1}{1+V}}\right)}\\&={\frac {U^{30}}{(1+V)^{14}V^{5}}}\cdot {\frac {1+V-1-V}{(1+V)V}}\\&=0.\end{aligned}}$