Kurs:Körper- und Galoistheorie/15/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 3 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 4 | 30 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Linksnebenklasse von in einer Gruppe bezüglich einer Untergruppe .
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
- Der Frobeniushomomorphismus auf einem kommutativen Ring mit positiver Charakteristik.
- Eine (endliche) Galoiserweiterung .
- Ein Charakter eines Monoids in einem Körper .
- Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung .
- Die Teilmenge
heißt die Linksnebenklasse von in bezüglich .
- Eine
Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
- Der Frobeniushomomorphismus ist der durch
gegebene Ringhomomorphismus.
- Eine endliche Körpererweiterung heißt eine Galoiserweiterung, wenn
gilt.
- Ein Charakter ist ein
Monoidhomomorphismus
- Man nennt die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von über den Transzendenzgrad von über .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
- Der Satz vom primitiven Element.
- Der Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.
- Die Ordnung von teilt die Ordnung der Gruppe.
- Sei
eine
endliche
separable Körpererweiterung.
Dann wird von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein mit
- Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann ist genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn Zerfällungskörper eines Polynoms ist.
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)
Es sei
- Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
- Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?
- Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit multiplizieren und
setzen. Es ist
zu lösen, also ist
Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist
Somit ist
die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.
- Da die Kosinusreihe gleich ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (1 Punkt)
Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein - Vektorraum ist.
Die Skalarmultiplikation
wird einfach durch die Multiplikation in gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den Körperaxiomen.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper . Zeige, dass die Elemente
die Nullstellen des Polynoms sind.
Es ist eine primitive dritte Einheitswurzel und daher ist
Uner Verwendung dieser Beobachtung ist
Da primitive Einheitswurzeln grundsätzlich gleichberechtigt sind und da es sich bei allen drei Elementen um die Summe einer primitiven neunten Einheitswurzel mit seinem Inversen handelt, gilt die entsprechende Gleichung auch für die beiden anderen Elemente.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz von Lagrange.
Betrachte die Linksnebenklassen für sämtliche . Es ist
eine Bijektion zwischen und , sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von , sodass ein Vielfaches von sein muss.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper mit nicht graduierbar ist.
Die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers ist isomorph zu . Als Graduierung kommen nur die beiden Gruppen und in Frage. Im zweiten Fall würde aber die Automorphismengruppe nach Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Untergruppe der Form enthalten, was ausgeschlossen ist. Die einzig verbleibende Möglichkeit wäre also als graduierende Gruppe, und dann wäre
mit einem . Der erzeugende Automorphismus schickt auf ein , das ebenfalls
erfüllt. Somit ist
Dabei ist
ausgeschlossen, da andernfalls
wäre und der Homomorphismus die Ordnung hätte. Also ist
Der fünfte Kreisteilungskörper enthält aber nicht die imaginäre Einheit.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.
Induktion über . Für ist . Für beliebiges betrachten wir die in Lemma 19.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) bewiesene Darstellung
Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in . Daraus folgt mit Aufgabe 18.11 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), dass auch Koeffizienten in besitzt.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Gerade gegeben, auf der zwei Punkte als und ausgezeichnet seien, sodass man diese Gerade mit den reellen Zahlen identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen und auf gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, sodass das Produkt wieder auf liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.
Man zeichnet eine senkrechte Gerade zu durch den Nullpunkt. Mit dem Zirkel schlägt man Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch , und und markiert die entsprechenden Punkte auf als , und . Dabei wählt man als einen der beiden Schnittpunkte und und müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Jetzt zeichnet man die Gerade durch und und dazu die parallele Gerade durch . Diese Gerade schneidet in genau einem Punkt . Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Streckenverhältnis