Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 15/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$ und es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung, in der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$ nicht die Form ${}\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +\gamma$ mit rationalen Zahlen ${}\beta ,\gamma$ haben können.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man in Satz 15.4  (2) nicht auf die Bedingung der Irreduzibilität verzichten kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man in Satz 15.4 die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann:

Zu jeder Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ und zu zwei ${}K$- Algebrahomomorphismen

$\varphi _{1},\varphi _{2}\colon L\longrightarrow M$

ist ${}\varphi _{1}(L)=\varphi _{2}(L)$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei

$\kappa \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass ${}\kappa (K)\subseteq K$ gilt.

b) Zeige, dass ${}\kappa {|}_{K}=\operatorname {Id} _{K}$ genau dann gilt, wenn ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl, die in ${}\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass ${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}3$ ist. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 15.4, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist. Man gebe die verschiedenen Einbettungen von ${}L$ in ${}{\mathbb {C} }$ an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper, der über ${}K$ nicht normal sei. Zeige, dass es einen weiteren Zwischenkörper ${}M'\neq M$ gibt, der zu ${}M$ isomorph ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq M$ aus Beispiel 15.6. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 15.4, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde für den Körper ${}L$ aus Beispiel 14.9 eine endliche Körpererweiterung ${}L\subseteq L'$ mit ${}L'\subseteq {\mathbb {C} }$ und so, dass ${}L'$ über ${}\mathbb {Q}$ normal ist. Beschreibe einen ${}\mathbb {Q}$- Automorphismus ${}\varphi \colon L'\rightarrow L'$ mit ${}\varphi (L)\neq L$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler ${}p^{r}$ von ${}{\#\left(D\right)}$ enthalte ${}K$ eine ${}p^{r}$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass ${}K\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{3}\subseteq {\mathbb {F} }_{9}$, welche Elemente aus ${}{\mathbb {F} }_{9}$ untereinander konjugiert sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe in jeder Charakteristik Beispiele für eine normale Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad ${}3$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}M_{1},M_{2}$ Zwischenkörper, die beide über ${}K$ normal seien. Zeige, dass auch ${}K\subseteq M_{1}\cap M_{2}$ normal ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler ${}p^{r}$ von ${}{\#\left(D\right)}$ enthalte ${}K$ eine ${}p^{r}$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass ${}K\subseteq L$ eine normale Körpererweiterung ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche normale und separable Körpererweiterung. Es sei ${}x\in L$ mit ${}x^{n}=a\in K$, wobei ${}\operatorname {grad} _{K}K(x)=n$ sei. Zeige, dass ${}L$ ${}n$ verschiedene ${}n$-te Einheitswurzeln besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{2}\subseteq {\mathbb {F} }_{8}$, welche Elemente aus ${}{\mathbb {F} }_{8}$ untereinander konjugiert sind.