Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 26

Assoziierte Primideale

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zu einen jeden Element ${}v\in M$ betrachtet man den zugehörigen Annullator, also

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}={\left\{f\in R\mid fv=0\right\}}\,.$

Dies ist ein Ideal in ${}R$. Mit dieser Konstruktion können häufig Moduleigenschaften auf Ring- bzw. Idealeigenschaften zurückgeführt werden. Beispielsweise gilt ${}v=0$ genau dann, wenn ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ das Einheitsideal ist. Der von einem Element ${}v\in M$ erzeugte Untermodul ist isomorph zu ${}R/\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$. Eine besonders wichtige Rolle spielen die Primideale, die als Annullatoren eines Elementes auftreten.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ heißt assoziiertes Primideal zu ${}M$, wenn es ein ${}v\in M$ mit

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,$

gibt.

Die Menge der assoziierten Primideale zu dem gegebenen Modul wird mit ${}\operatorname {Ass} {\left(M\right)}$ bezeichnet. Zum Nullmodul gibt es keine assoziierten Primideale. Erstaunlicher ist, dass es ansonsten stets assoziierte Primideale gibt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}M\neq 0$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann ist die Menge ${}\operatorname {Ass} {\left(M\right)}$ nicht leer.

Beweis

Wir betrachten die Menge aller Annullatoren

${\left\{\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\mid v\in M,\,v\neq 0\right\}}.$

Nach Voraussetzung ist diese Menge nicht leer und besteht aus Idealen, die alle vom Einheitsideal verschieden sind. Diese Menge ist induktiv geordnet, da jede aufsteigende Kette darin wegen noethersch stationär wird. Nach dem Lemma von Zorn besitzt die Menge somit maximale Elemente. Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Es sei also

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,$

maximal und sei ${}fg\in {\mathfrak {p}}$, also

${}fgv=0\,.$

Es sei ${}g\notin {\mathfrak {p}}$, also ${}gv\neq 0$, und somit ist ${}f\in {\mathfrak {p}}$ zu zeigen. Es ist

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\subseteq \operatorname {Ann} _{}{\left(gv\right)}\,$

und ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(gv\right)}$ gehört zu unserer Menge. Wegen der Maximalität von ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ muss also hier Gleichheit vorliegen. Wegen ${}f\in \operatorname {Ann} _{}{\left(gv\right)}$ ist damit auch ${}f\in \operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den Restklassenring ${}R=K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^{2},XY)$. Dies ist ein eindimensionaler nichtreduzierter Ring mit den einzigen Primidealen ${}{\mathfrak {p}}=(X)$ und ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Beide Primideale sind assoziierte Primideale des Ringes, und zwar ist ${}{\mathfrak {p}}=(X)=\operatorname {Ann} _{}{\left(Y\right)}$ und ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)=\operatorname {Ann} _{}{\left(X\right)}$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein Primideal.

Dann ist

${}\operatorname {Ass} {\left(R/{\mathfrak {p}}\right)}=\{{\mathfrak {p}}\}\,.$

Dies gilt auch für jeden von ${}0$ verschiedenen Untermodul von ${}R/{\mathfrak {p}}$.

Beweis

Es ist

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left([1]\right)}\,,$

deshalb ist ${}{\mathfrak {p}}$ ein assoziiertes Primideal. Für ein beliebiges von ${}0$ verschiedenes Element ${}[g]\in R/{\mathfrak {p}}$ ist ${}g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist ebenfalls

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left([g]\right)}\,,$

da die Inklusion ${}\subseteq$ trivial ist und da

${}f[g]=0\,$

in ${}R/{\mathfrak {p}}$ bedeutet, dass ${}fg\in {\mathfrak {p}}$ ist, woraus wegen der Primeigenschaft ${}f\in {\mathfrak {p}}$ folgt. Somit gilt die Eigenschaft auch für jeden Untermodul.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

$0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln.

Dann ist

${}\operatorname {Ass} {\left(M\right)}\subseteq \operatorname {Ass} {\left(N\right)}\subseteq \operatorname {Ass} {\left(M\right)}\cup \operatorname {Ass} {\left(P\right)}\,.$

Beweis

Die erste Inklusion ist klar. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} {\left(N\right)}$ und ${}{\mathfrak {p}}\notin \operatorname {Ass} {\left(M\right)}$. Es sei

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,,$

${}v\in N$. Wir betrachten die Modulkette

${}M\cap Rv\subseteq Rv\cong R/{\mathfrak {p}}\,.$

Wäre ${}M\cap Rv$ nicht ${}0$, so wäre nach Lemma 26.4 das Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ doch ein assoziiertes Primideal von ${}M$ im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist

${}M\cap Rv=0\,$

und somit erhalten wir eine injektive Abbildung

$Rv\longrightarrow P,$

die zeigt, dass ${}{\mathfrak {p}}$ ein assoziiertes Primideal von ${}P$ ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann gibt es ein Folge von Untermoduln

${}0\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=M\,$

mit

${}M_{i+1}/M_{i}\cong R/{\mathfrak {p}}_{i}\,$

für gewisse Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{i}$.

Beweis

Bei ${}M=0$ ist nichts zu zeigen, sei also ${}M\neq 0$. Dann gibt es nach Lemma 26.2 ein ${}v\in M$ derart, dass

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}={\mathfrak {p}}\,$

ein Primideal ist. Somit liegt ein Untermodul

${}R/{\mathfrak {p}}\cong vR\subseteq M\,$

vor, den wir mit ${}M_{1}$ bezeichnen. Bei ${}M_{1}=M$ sind wir fertig. Andernfalls finden wir im Restklassenmodul ${}M/M_{1}$ wieder ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}[v_{2}]\neq 0$, dessen Annullator ein Primideal ist. Wir setzen ${}M_{2}$ als das Urbild von ${}R\cdot [v_{2}]$ unter der Projektion

$M\longrightarrow M/M_{1}$

an und fahren in dieser Weise fort. So entsteht eine aufsteigende Folge von Untermoduln von ${}M$ mit der besagten Eigenschaft. Diese muss nach Satz 20.9 nach endlich vielen Schritten abbrechen.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}M\neq 0$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann ist die Menge ${}\operatorname {Ass} {\left(M\right)}$ nicht leer und endlich.

Beweis

Die Existenz folgt aus Lemma 26.2. Die Endlichkeit folgt aus Lemma 26.6, Lemma 26.5 und Lemma 26.4.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}M\neq 0$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann gilt für die Menge der Nullteiler von ${}M$ die Beziehung

${}\operatorname {NT} {\left(M\right)}=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} {\left(M\right)}}{\mathfrak {p}}\,.$

Beweis

Für jedes assoziierte Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ gibt es ein ${}v\in M$, ${}v\neq 0$, mit

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,.$

Somit besteht ${}{\mathfrak {p}}$ aus Nullteilern von ${}M$. Es sei umgekehrt ${}f\in R$ ein Nullteiler von ${}M$. Das bedeutet, dass es ein ${}v\in M$, ${}v\neq 0$, mit ${}fv=0$ gibt. Insbesondere ist

${}f\in \operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,.$

Wenn man das Argument im Beweis zu Lemma 26.2 auf die Annullationsideale ober halb von ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ durchführt, so erhält man darin auch ein assoziiertes Primideal, das ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ und damit ${}f$ enthält.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}M\neq 0$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, das ausschließlich aus Nullteilern von ${}M$ besteht.

Dann gibt es ein ${}v\in M$, ${}v\neq 0$, mit

${}{\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,.$

Beweis

Nach Lemma 26.8 ist

${}{\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {NT} {\left(M\right)}=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} {\left(M\right)}}{\mathfrak {p}}\,,$

wobei nach Satz 26.7 die Vereinigung rechts endlich ist. Somit gibt es nach Lemma 11.10 ein assoziiertes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit

${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(h\right)}\,.$

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Ein assoziiertes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ zu ${}M$, das nicht minimal unter des assoziierten Primidealen ist, heißt eingebettetes Primideal von ${}M$.

In Beispiel 26.3 ist das maximale Ideal ein eingebettetes Primideal.

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