Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	1	5	3	6	4	6	1	6	4	4	6	7	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein neutrales Element ${}e\in M$ zu einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

2. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ${}m$ Gleichungen in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.
3. Eine Diagonalmatrix.
4. Isomorphe Vektorräume.
5. Die Spur zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
2. Der Satz über das Signum und Transpositionen.
3. Das Lemma von Bezout für Polynome.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$- Matrizen über ${}K$ ist und bestimme seine Dimension.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\,\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{4}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von ${}2300$ kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist ${}10000$ kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$. Es sei ${}v\in V$. Zeige ${}\varphi (-v)=-\varphi (v)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume mit ${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=n$ und ${}\operatorname {dim} _{}\left(W\right)=m$. Welche Dimension besitzt der Produktraum ${}V\times W$?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\,.$

a) Zeige

${}M^{2}=E_{2}\,.$

b) Bestimme die inverse Matrix zu ${}M$.

c) Löse die Gleichung

${}M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$, wobei ${}V$ endlichdimensional und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ sei. Es sei ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der ${}K$- Vektorraum der linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$. Zeige, dass die Abbildung

$F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W^{n},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{n})\right),$

ein Isomorphismus von ${}K$-Vektorräumen ist.

Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\4\\8\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,$

und

${}T=\langle {\begin{pmatrix}7\\1\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,.$

a) Beschreibe den Untervektorraum ${}W$ der ${}3\times 3$- Matrizen, die den Untervektorraum ${}U$ in den Untervektorraum ${}T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe ${}W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von ${}W$.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten in ${}\mathbb {Q} [X]$ die beiden Hauptideale ${}(X-2)$ und ${}(X+3)$. Zeige, dass der Durchschnitt

$(X-2)\cap (X+3)$

gleich dem Hauptideal ${}((X-2)\cdot (X+3))$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,.$

Bestimme das charakteristische Polynom der mit ${}s\in K$ gestreckten Matrix ${}sM$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über baryzentrische Koordinaten.